Два велосипедиста ехали с постоянными скоростями в течение получаса, и за это время второй велосипедист проехал на 6 км больше, чем первый. Затем они продолжили движение, сохранив свои скорости, и каждый ехал дополнительно столько минут, сколько километров он уже проехал. В итоге второй велосипедист за всё время движения проехал на 9 км больше, чем первый. Найдите скорость второго велосипедиста. Ответ выразите в км/ч.

Решение: Обозначим скорости велосипедистов как v1 и v2 (км/ч), где v2 > v1. Пусть время первого этапа = 0.5 ч. 1) За полчаса пройденные расстояния: - первый велосипедист: d1 = v1 · 0.5 - второй велосипедист: d2 = v2 · 0.5 Задано, что разность пройденных расстояний за первый этап равна 6 км: d2 − d1 = 6 0.5(v2 − v1) = 6 ⇒ v2 − v1 = 12. (1) 2) Второй этап: продолжили движение той же скоростью. Каждому за дополнительное время дали столько минут, сколько он уже проехал км (время в часах = км / 60). - дополнительное время первого: t1 = d1/60 ч - дополнительное расстояние первого: Δd1 = v1 · t1 = v1 · (d1/60) = (v1 · d1)/60 Здесь d1 = 0.5 v1 ⇒ Δd1 = v1^2 / 120 - для второго: t2 = d2/60 ч - дополнительное расстояние второго: Δd2 = v2 · t2 = v2 · (d2/60) = (v2 · d2)/60 Здесь d2 = 0.5 v2 ⇒ Δd2 = v2^2 / 120 Итоговые пройденные расстояния: - D1 = d1 + Δd1 = 0.5 v1 + v1^2/120 - D2 = d2 + Δd2 = 0.5 v2 + v2^2/120 По условию D2 − D1 = 9: (0.5 v2 − 0.5 v1) + (v2^2 − v1^2)/120 = 9 Используем (1): v2 − v1 = 12 и разность квадратов: v2^2 − v1^2 = (v2 − v1)(v2 + v1) = 12(v1 + v2). Тогда: 6 + [12(v1 + v2)]/120 = 9 6 + (v1 + v2)/10 = 9 (v1 + v2)/10 = 3 ⇒ v1 + v2 = 30. (2) Система: - v2 − v1 = 12 - v1 + v2 = 30 Решая: v2 = (30 + 12)/2 = 21 км/ч. Ответ: скорость второго велосипедиста 21 км/ч.