Петя и Боря проживают на улице Круглая, которая расположена вокруг озера. Каждый из них взял план города и пронумеровал дома на улице Круглой по часовой стрелке: 1, 2, .., начав отсчёт от своего дома, которому присвоил номер 1. Оказалось, что дом, который на плане у Пети имеет номер 6, у Бори обозначен номером 15 и наоборот — дом, который на плане у Бори имеет номер 6, у Пети обозначен номером 15. Сколько всего домов на улице Круглой?

Задача: по двух планам (Пети и Борі) используя нумерацию по часовой стрелке на круговой улице определить число домов. Пусть на улице всего N домов (N > 0). Обозначим положение домов относительно дома Пети так: - дом, который по плану Пети имеет номер k, находится на позиции pos = k − 1 (0 означает дом Пети). Поскольку Боря начинает свой нумерацию с своего дома как 1, его номера для дома на позиции pos равны: b = ((pos − s) mod N) + 1, где s — позиция дома Борі относительно дома Пети (0 ≤ s ≤ N − 1). Даны две соответствия для одного и того же физического дома: 1) дом Пети с номером 6 имеет номер 15 у Борі. 2) дом Пети с номером 15 имеет номер 6 у Борі. Переведём в конкретные pos: - Для Petya = 6: pos = 5. Тогда ((5 − s) mod N) + 1 = 15 → (5 − s) mod N = 14. Это первое congruence: 5 − s ≡ 14 (mod N). - Для Petya = 15: pos = 14. Тогда ((14 − s) mod N) + 1 = 6 → (14 − s) mod N = 5. Это второе congruence: 14 − s ≡ 5 (mod N). Решение систем congruций: - from 5 − s ≡ 14 (mod N) получаем −s ≡ 9 (mod N) → s ≡ −9 ≡ N − 9 (mod N). - from 14 − s ≡ 5 (mod N) получаем −s ≡ −9 (mod N) → s ≡ 9 (mod N). Получили противоречие на первый взгляд: s одновременно ≡ 9 и ≡ N − 9 (mod N). Это возможно только если 9 ≡ N − 9 (mod N) → 18 ≡ 0 (mod N) → N делится на 18. Так как s ∈ [0, N−1], и из равенств следует s = 9 и N − 9 = 9, то N − 9 = 9 → N = 18. Проверка: - N = 18, s = 9. - Дом Петi 6 (pos = 5): b = ((5 − 9) mod 18) + 1 = (−4 mod 18) + 1 = 14 + 1 = 15. Совпадает. - Дом Петi 15 (pos = 14): b = ((14 − 9) mod 18) + 1 = 5 + 1 = 6. Совпадает. Ответ: на улице Круглой всего 18 домов.