В буфете продаются только булочки по 14 рублей и пирожки по 19 рублей. Выручка буфета за день составила 1200 рублей. Сколько могли продать булочек и пирожков вместе взятых?…

Задача сводится к решению линейного диофантового уравнения 14x + 19y = 1200 в невозрастающих неотрицательных целых x (булочки) и y (пирожков).

Пошаговое решение:

1. Решение по модулю 14

• 14x + 19y ≡ 1200 (mod 14)
• 14x ≡ 0, 19 ≡ 5 (mod 14), 1200 ≡ 10 (mod 14)
• Поэтому 5y ≡ 10 (mod 14). Обратный к 5 по модулю 14 равен 3, так как 5·3 ≡ 1 (mod 14).
• Значит y ≡ 3·10 ≡ 30 ≡ 2 (mod 14). Тогда y = 2 + 14k, где k — неотрицательное целое число.

2. Найдём x через y

• 14x = 1200 − 19y = 1200 − 19(2 + 14k) = 1200 − 38 − 266k = 1162 − 266k
• x = (1162 − 266k) / 14 = 83 − 19k

3. Неотрицательность

• x ≥ 0 и y ≥ 0 дают k ≥ 0 и 83 − 19k ≥ 0 ⇒ k ≤ 4 (потому что 19·5 = 95 > 83).
• Значит допустимые k: 0, 1, 2, 3, 4.

4. Пары (булочки, пирожки) и суммы

• k = 0: (x, y) = (83, 2), сумма = 85
• k = 1: (x, y) = (64, 16), сумма = 80
• k = 2: (x, y) = (45, 30), сумма = 75
• k = 3: (x, y) = (26, 44), сумма = 70
• k = 4: (x, y) = (7, 58), сумма = 65

Итого, возможны варианты продаж:

• 85 булочек и пирожков вместе (83 булочки, 2 пирожки)
• 80 предметов вместе (64 булочки, 16 пирожков)
• 75 предметов вместе (45 булочек, 30 пирожков)
• 70 предметов вместе (26 булочек, 44 пирожков)
• 65 предметов вместе (7 булочек, 58 пирожков)

Дополнительно заметка: общая сумма T = x + y для этих решений равна 85 − 5k, то есть принимает значения 85, 80, 75, 70, 65.