В буфете продаются только пирожки с картошкой по 18 рублей и пирожки с капустой по 22 рубля. Выручка буфета за день составила 1640 рублей. Определите минимальное и максимальное…

Задача: найти минимальное и максимальное число проданных пирожков при выручке 1640 руб. Пусть:

• x — количество пирожков с картошкой (18 руб.)
• y — количество пирожков с капустой (22 руб.)

Уравнение: 18x + 22y = 1640, при этом x, y ≥ 0 и целые. Нужно минимальное и максимальное x + y.

1. Упростим уравнение, разделив на 2: 9x + 11y = 820.

2. Решим по модулю. Из 9x ≡ 820 (mod 11) получаем: 820 ≡ 6 (mod 11), а обратная к 9 в модуле 11 равна 5 (потому что 9·5 = 45 ≡ 1 mod 11). Значит x ≡ 5·6 ≡ 30 ≡ 8 (mod 11). Пусть x = 8 + 11t, где t целое.

3. Найдем y через уравнение: 9x + 11y = 820 → 11y = 820 − 9x. Подставим x = 8 + 11t: 11y = 820 − 9(8 + 11t) = 748 − 99t. Отсюда y = 68 − 9t.

4. Неотрицательность: x ≥ 0 даёт t ≥ 0 (поскольку x = 8 + 11t).
   y ≥ 0 даёт 68 − 9t ≥ 0 → t ≤ 68/9 ≈ 7.55, значит t ≤ 7.

5. Таким образом, t ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Общее число пирожков: N = x + y = (8 + 11t) + (68 − 9t) = 76 + 2t. Поэтому N минимально при t = 0, и максимально при t = 7.

6. Вычисления:

   • При t = 0: x = 8, y = 68 → N = 76.
   • При t = 7: x = 8 + 77 = 85, y = 68 − 63 = 5 → N = 90.

Проверка: 18·85 + 22·5 = 1530 + 110 = 1640, верно.

Ответ:

• Минимальное количество пирожков: 76.
• Максимальное количество пирожков: 90.