Натуральное число , каждые две соседние цифры которого дают чётную сумму, назовём почётным , а натуральное число каждые две соседние цифры которого дают нечётную сумму-…

Пояснение и ответ.

• Почётное число: сумма каждой пары соседних цифр чётна, значит все цифры числа имеют одну и ту же парность. Так как сумма цифр 2001 нечётна, все цифры должны быть нечетными. Значит число состоит только из цифр {1,3,5,7,9}.

• Пусть число состоит из k цифр. Максимальная возможная сумма при таких цифрах — 9k. Чтобы получить сумму 2001, нужно 9k ≥ 2001, и k должно быть нечётным (даже сумма при чётном k была бы чётной). Минимальное подходящее k: k = 223.

• Пусть все 223 цифры были 9; сумма была бы 223×9 = 2007. Нужно уменьшить сумму на 6, причём уменьшать можно только на чётные величины (чтобы цифра оставалась нечётной): убрать по 2, 4 или 6. Чтобы получить минимальное число, стремимся сделать первую цифру как можно меньшей. Приведём весь вычет к первой цифре: 9 → 3 (уменьшение на 6), остальные цифры оставить 9. Тогда цифры: первая — 3, остальные 222 цифры — 9. Сумма цифр: 3 + 222×9 = 3 + 1998 = 2001. Все пары суммируются в чётное.

Получаем минимальное почётное число: первая цифра 3, затем 222 девятки. То есть число состоит из 223 цифр: 3 и далее 222 цифры 9.

Ответ: 3 followed by 222 nines (то есть 3999...9, где девяток ровно 222).