натуральное число, каждые 2 соседние цифры которого дают чётную сумму, назовем почётным, а натуральное число, каждые 2 соседние цифры которого дают нечётную сумму,- понечётным,…
Натуральное число, каждые 2 соседние цифры которого дают чётную сумму, назовем почётным, а натуральное число, каждые 2 соседние цифры которого дают нечётную сумму,- понечётным, найдите наименьшее почётное число, сумма цифр равны 2028. сколько цифр в этом числе? запишите первые-2 цифры получившегося числа.
Пояснение (пошагово, без лишних рассуждений, чтобы понять решение):
Условия: каждые две соседние цифры дают чётную сумму. Это значит, что две соседние цифры имеют одинаковую парность, и по цепочке все цифры числа одной и той же парности: либо все чётные, либо все нечётные.
Рассмотрим два варианта и найдём минимальное число по количеству цифр:
- Все цифры чётные. Пусть число состоит из n цифр. Максимальная сумма цифр — 8n (каждая цифра до 8). Чтобы получить сумму 2028, нужно 8n ≥ 2028 ⇒ n ≥ 254. Пример минимального такого числа: первая цифра минимальна и не ноль — 4 (если взять 2, остаток становится недостижимым). Тогда оставшиеся 253 цифры — 8, получаем число 4 8 8 ... 8 (254 цифр). Оно удовлетворяет условию и несомненно больше искомого минимального числа по длине.
- Все цифры нечётные. Пусть число состоит из n цифр. Сумма digits ∈ [n, 9n]. Чтобы сумма равнялась 2028, необходим n ≥ ceil(2028/9) = 226. Так как 2028 чётная, требуется, чтобы n было чётным. Значит минимально возможное n = 226.
Теперь найдём наименьшее число в случае с нечётными цифрами (наименьшее по количеству цифр уже минимально: 226). Чтобы минимизировать саму запись, пробуем минимальную первую цифру:
- Если d1 = 1, то оставшаяся сумма 2027 должна быть достигнута 225 оставшимися цифрами; максимум их сумма — 9·225 = 2025, что меньше 2027. Значит d1 ≠ 1.
- Если d1 = 3, остаток для остальных 225 цифр — 2025. Максимум для остальных — 9·225 = 2025, значит остальные 225 цифр должны быть все 9. Это допустимо.
Итак, минимальное по длине и по значению число — это 226 циф: первая цифра 3, далее 225 циф — по 9. То есть число имеет вид: 3 9 9 9 … 9 (225 девяток).
Ответы на вопросы задачи:
- Сколько цифр в этом числе? 226.
- Запишите первые 2 цифры получившегося числа. 39.
- Дополнение: само минимальное почётное число равно 3 и далее 225 девяток (трёхзначная запись: 3 followed by 225 × 9).
