Задача: найти минимальное возможное z для того, чтобы z/x + y/2 = 8/11, где x, y, z — натуральные числа.
Шаг 1. Приведем дроби к общему знаменателю и выпишем уравнение
z/x + y/2 = 8/11
Общий знаменатель — 2x, поэтому
(2z + xy) / (2x) = 8/11
Перекрестно умножаем:
11(2z + xy) = 16x
То есть
22z + 11xy = 16x
Шаг 2. Выразим z через x и y
22z = 16x − 11xy = x(16 − 11y)
z = x(16 − 11y) / 22
Шаг 3. Ограничим y таким, чтобы z было положительным
Так как z ∈ N и x > 0, то 16 − 11y > 0. Это значит, что y ≤ 1.
Поскольку y — натуральное число, единственный возможный вариант: y = 1.
Шаг 4. Подставим y = 1
z = x(16 − 11) / 22 = 5x / 22
Чтобы z было целым числом, число 22 должно делить 5x. gcd(5, 22) = 1, значит 22 | x.
Пусть x = 22k, тогда z = 5k.
Шаг 5. Найдем минимальное z
Минимальное positive k даёт минимальное z. При k = 1 имеем
x = 22, y = 1, z = 5.
Проверка:
z/x + y/2 = 5/22 + 1/2 = 5/22 + 11/22 = 16/22 = 8/11, верно.
Ответ: минимальное значение z равно 5 (при x = 22 и y = 1).
Примечание: если допускать y = 0 (в некоторых определениях натуральных чисел это допускается), решение могло бы отличаться (например, y=0 даёт z = 8x/11 с подходящими x), но в условиях задачи обычно NAT = {1, 2, 3, ...}, поэтому минимальное z = 5.
