На основании AC треугольника ABC выбрана точка N. Оказалось, что угол BNC в два раза больше угла BAC, а угол BNA в два раза больше угла BCA. Найдите длину отрезка BN, если AB = 8, CB = 10. В ответ запишите полученное значение, возведённое в квадрат.

Задача предполагает, что точка N лежит на стороне AC треугольника ABC. Обозначим углы: α = ∠BAC, γ = ∠BCA, β = ∠ABC. Тогда α + β + γ = 180°. 1) Найдём отношение между углами при B. - В треугольнике ABN: ∠BAN = α, ∠BNA = ∠BNA = 2γ, значит ∠ABN = 180° − α − 2γ. - В треугольнике CBN: ∠BCN = γ, ∠BNC = ∠BNC = 2α, значит ∠CBN = 180° − γ − 2α. Сумма углов вокруг вершины B даёт ∑(углы при B) = ∠ABN + ∠CBN = β. Следует (180° − α − 2γ) + (180° − γ − 2α) = β 360° − 3(α + γ) = β. Но α + β + γ = 180°, значит α + γ = 180° − β. Подставляя: 360° − 3(180° − β) = β ⇒ 360° − 540° + 3β = β ⇒ 2β = 180° ⇒ β = 90°. Следовательно, треугольник ABC прямой в точке B, а α + γ = 90°. 2) Найдём BN. Из треугольника ABN по синусовому правилу: BN / sin α = AB / sin ∠BNA = AB / sin(2γ). Так как γ = 90° − α, то sin(2γ) = sin(180° − 2α) = sin(2α). Имеем BN = AB · sin α / sin(2α) = AB · sin α / (2 sin α cos α) = AB / (2 cos α). В прямоугольном треугольнике ABC cos α = прилежащий к α катет AB делённый на гипотенузу AC, то cos α = AB / AC. Тогда BN = AB / (2 · (AB/AC)) = AC / 2. Значит BN равно половине гипотенузы. 3) Вычислим BN². AC² = AB² + BC² = 8² + 10² = 64 + 100 = 164. BN² = (AC²) / 4 = 164 / 4 = 41. Ответ: 41.