Прямоугольник, длины обеих сторон которого принимают целочисленные значения, не меньшие 3, составлен из квадратов 1 × 1 (далее будем называть эти квадраты клетками). Для каждой клетки посчитали количество её соседей (соседними называются две клетки, имеющие общую сторону). Все посчитанные числа сложили и получили сумму 322. Найдите периметр прямоугольника.

Задача: прямоугольник размером a × b (a, b целые, ≥ 3), состоит из 1×1 клеток. Для каждой клетки посчитали число её соседей (соседи по общей стороне). сумма всех таких чисел равна 322. Найти периметр. 1) Разбор по типам клеток - Уголковые клетки: 4 клетки, каждая имеет 2 соседа. - Клетки на стороне, но не угловые: их количество равно 2(a−2) по верхней и нижней сторонам, плюс 2(b−2) по левой и правой сторонам. У каждой таких клетки 3 соседа. - Внутренние клетки: (a−2)(b−2) клеток, у каждой 4 соседа. 2) Выразим сумму S S = 4·2 + 3·[2(a−2) + 2(b−2)] + 4·(a−2)(b−2) Раскроем и упростим: - 4·2 = 8 - 3·[2(a−2) + 2(b−2)] = 3·(2a−4 + 2b−4) = 6a + 6b − 24 - 4·(a−2)(b−2) = 4(ab − 2a − 2b + 4) = 4ab − 8a − 8b + 16 Суммируем: S = 8 + (6a + 6b − 24) + (4ab − 8a − 8b + 16) = 4ab − 2a − 2b Дано S = 322, значит: 4ab − 2a − 2b = 322 3) Приведём к факторизации Разделим на 2: 2ab − a − b = 161 Заметим, что (2a−1)(2b−1) = 4ab − 2a − 2b + 1 = (322) + 1 = 323. Факторы 323: 323 = 17 · 19 (а также 1 · 323, но a, b ≥ 3, так что используем 17 и 19). Значит: 2a − 1 = 17 и 2b − 1 = 19, или наоборот. Отсюда a, b = 9 и 10 в любом порядке. 4) Периметр Периметр P = 2(a + b) = 2(9 + 10) = 38. Ответ: периметр прямоугольника равен 38 единиц. (При этом возможны оба варианта: 9×10 и 10×9, но периметр одинаковый.)