На основании АС треугольника ABC выбрана точка N. Оказалось, что угол BNC в два раза больше угла ВАС, а угол BNA в два раза больше угла ВСА. Найдите длину отрезка BN, если АВ = 8,…

Решение. Пусть N лежит на стороне AC треугольника ABC. Обозначим:

• α = ∠BAC,
• γ = ∠BCA.

По данным: ∠BNC = 2α и ∠BNA = 2γ.

1. Выразим BN через данные углы в треугольниках BNC и ABN с помощью закона синусов.

• В треугольнике BNC (сторона BN против угла ∠BCN = γ, сторона BC против ∠BNC = 2α): BN / sin γ = BC / sin(2α) ⇒ BN = BC · sin γ / sin(2α).

• В треугольнике ABN (сторона BN против ∠BAN = α, сторона AB против ∠ANB = 2γ): BN / sin α = AB / sin(2γ) ⇒ BN = AB · sin α / sin(2γ).

Так как BN одно и то же, получаем равенство: BC · sin γ / sin(2α) = AB · sin α / sin(2γ).

2. Подставим данные AB и BC и упростим:

3. AB = 8, BC = 12, получаем 12 · sin γ / sin(2α) = 8 · sin α / sin(2γ).

После приводящих преобразований получаем отношение 2 sin^2 α · cos α = 3 sin^2 γ · cos γ. (1)

Также из отношения AB/BC = sin γ / sin α имеем sin γ = (AB/BC) · sin α = (2/3) sin α. (2)

3. Подставим (2) в (1). Заменим sin γ на (2/3) sin α: 2 sin^2 α · cos α = 3 · (4/9) sin^2 α · cos γ ⇒ 2 cos α = (4/3) cos γ ⇒ cos γ = (3/2) cos α. (3)

Используем тождество sin^2 γ + cos^2 γ = 1 и подстановку sin γ = (2/3) sin α, cos γ = (3/2) cos α вместе с sin^2 α + cos^2 α = 1. Пусть c = cos α, s = sin α. Тогда из (4/9) s^2 + (9/4) c^2 = 1 и s^2 + c^2 = 1 следует, что c^2 = 4/13, значит c = 2/√13 (поскольку α острый), s^2 = 9/13, значит s = 3/√13.

Тогда sin α = 3/√13, cos α = 2/√13, sin γ = (2/3) sin α = 2/√13, cos γ = (3/2) cos α = 3/√13.

4. Найдём BN. Можно взять через любую из формул, например: BN = BC · sin γ / sin(2α).

Вычислим sin(2α) = 2 sin α cos α = 2 · (3/√13) · (2/√13) = 12/13. Тогда BN = 12 · (2/√13) / (12/13) = (24/√13) · (13/12) = 26/√13 = 2√13.

5. Требуется записать BN^2. Имеем BN^2 = (2√13)^2 = 4 · 13 = 52.

Ответ: 52.