На основании АС треугольника ABC выбрана точка N. Оказалось, что угол BNC в два раза больше угла ВАС, а угол BNA в два раза больше угла ВСА. Найдите длину отрезка BN, если АВ = 8, СВ = 12. В ответ запишите полученное значение, возведённое в квадрат.

Решение. Пусть N лежит на стороне AC треугольника ABC. Обозначим: - α = ∠BAC, - γ = ∠BCA. По данным: ∠BNC = 2α и ∠BNA = 2γ. 1) Выразим BN через данные углы в треугольниках BNC и ABN с помощью закона синусов. - В треугольнике BNC (сторона BN против угла ∠BCN = γ, сторона BC против ∠BNC = 2α): BN / sin γ = BC / sin(2α) ⇒ BN = BC · sin γ / sin(2α). - В треугольнике ABN (сторона BN против ∠BAN = α, сторона AB против ∠ANB = 2γ): BN / sin α = AB / sin(2γ) ⇒ BN = AB · sin α / sin(2γ). Так как BN одно и то же, получаем равенство: BC · sin γ / sin(2α) = AB · sin α / sin(2γ). 2) Подставим данные AB и BC и упростим: 8) AB = 8, BC = 12, получаем 12 · sin γ / sin(2α) = 8 · sin α / sin(2γ). После приводящих преобразований получаем отношение 2 sin^2 α · cos α = 3 sin^2 γ · cos γ. (1) Также из отношения AB/BC = sin γ / sin α имеем sin γ = (AB/BC) · sin α = (2/3) sin α. (2) 3) Подставим (2) в (1). Заменим sin γ на (2/3) sin α: 2 sin^2 α · cos α = 3 · (4/9) sin^2 α · cos γ ⇒ 2 cos α = (4/3) cos γ ⇒ cos γ = (3/2) cos α. (3) Используем тождество sin^2 γ + cos^2 γ = 1 и подстановку sin γ = (2/3) sin α, cos γ = (3/2) cos α вместе с sin^2 α + cos^2 α = 1. Пусть c = cos α, s = sin α. Тогда из (4/9) s^2 + (9/4) c^2 = 1 и s^2 + c^2 = 1 следует, что c^2 = 4/13, значит c = 2/√13 (поскольку α острый), s^2 = 9/13, значит s = 3/√13. Тогда sin α = 3/√13, cos α = 2/√13, sin γ = (2/3) sin α = 2/√13, cos γ = (3/2) cos α = 3/√13. 4) Найдём BN. Можно взять через любую из формул, например: BN = BC · sin γ / sin(2α). Вычислим sin(2α) = 2 sin α cos α = 2 · (3/√13) · (2/√13) = 12/13. Тогда BN = 12 · (2/√13) / (12/13) = (24/√13) · (13/12) = 26/√13 = 2√13. 5) Требуется записать BN^2. Имеем BN^2 = (2√13)^2 = 4 · 13 = 52. Ответ: 52.