На основании AC треугольника ABC выбрана точка N. Оказалось что угол BNC в два раза больше угла BAC, а угол BNA в два раза больше угла BCA. Найдите длину отрезка BN если AB=8 CB=10. В ответ запишите полученное значение возведённое в квадрат.

Задача: в треугольнике ABC на стороне AC взята точка N такая, что ∠BNC = 2∠A и ∠BNA = 2∠C. Найти BN, при AB = 8, BC = 10. В ответ записать BN^2. Обозначим углы треугольника ABC: - ∠A = α, ∠B = β, ∠C = γ. Тогда α + β + γ = 180°. - По закону синусов в треугольнике ABC: a = BC = 10, c = AB = 8, поэтому sin α / sin γ = a / c = 10/8 = 5/4, то есть sin α = (5/4) sin γ. Рассмотрим треугольники ABN и BCN, используя данное, что N лежит на AC. - В треугольнике ABN: ∠ANB = ∠BNA = 2γ. По закону синусов: BN / sin α = AB / sin ∠ANB => BN = AB · sin α / sin 2γ. - В треугольнике BCN: ∠BCN = γ, ∠BNC = 2α. По закону синусов: BN / sin γ = BC / sin ∠BNC => BN = BC · sin γ / sin 2α. Тогда получаем уравнение для BN: 8 · sin α / sin 2γ = 10 · sin γ / sin 2α. Подставим sin α = (5/4) sin γ: 8 · (5/4) sin γ / sin 2γ = 10 · sin γ / sin 2α 10 · sin γ / sin 2γ = 10 · sin γ / sin 2α. При sin γ ≠ 0 можно сократить 10 sin γ и получить: sin 2α = sin 2γ. Из этого возможны два варианта: α = γ или α + γ = 90°. Первый не согласуется с sin α / sin γ = 5/4 (оно не равно 1), значит α + γ = 90°. Тогда β = 180° − (α + γ) = 90°. Треугольник ABC прямоугольный в B. Из α + γ = 90° и sin α = (5/4) sin γ следует: sin α = cos γ, поэтому cos γ = (5/4) sin γ → tan γ = 4/5. Отсюда sin γ = 4/√41, cos γ = 5/√41, sin α = cos γ = 5/√41. Теперь найдём BN через BN = AB · sin α / sin 2γ: - sin 2γ = 2 sin γ cos γ = 2 · (4/√41) · (5/√41) = 40/41. - BN = 8 · (5/√41) / (40/41) = (40/√41) · (41/40) = √41. Ответ: BN^2 = 41.