Задача 1. Найти определитель матрицы четвертого порядка.
Данные матрица A:
[ [3, 1, -3, 4],
[1, 1, -1, 2],
[-1, 2, 2, 0],
[0, 3, 1, 2] ]
Раскроем детерминант по первому столбцу:
det(A) = a11·det(M11) − a21·det(M21) + a31·det(M31) − a41·det(M41)
Где:
- a11 = 3, M11 — матрица, полученная удалением 1-й строки и 1-го столбца
M11 = | 1 -1 2 |
| 2 2 0 |
| 3 1 2 |
- a21 = 1, M21 — удалением 2-й строки и 1-го столбца
M21 = | 1 -3 4 |
| 2 2 0 |
| 3 1 2 |
- a31 = -1, M31 — удалением 3-й строки и 1-го столбца
M31 = | 1 -3 4 |
| 1 -1 2 |
| 3 1 2 |
- a41 = 0, тогда последний член равен 0
Вычислим детерминаты миноров:
D1 = det(M11) = det |1 -1 2; 2 2 0; 3 1 2|
= 1*(22 − 01) − (−1)(22 − 03) + 2(21 − 23)
= 4 − (−1)4 + 2(−4) = 4 + 4 − 8 = 0
D2 = det(M21) = det |1 -3 4; 2 2 0; 3 1 2|
= 1*(22 − 01) − (−3)(22 − 03) + 4(21 − 23)
= 4 + 12 − 16 = 0
D3 = det(M31) = det |1 -3 4; 1 -1 2; 3 1 2|
= 1*(−12 − 21) − (−3)(12 − 23) + 4(11 − (−1)3)
= (−4) − (−3)(2 − 6) + 4(1 + 3)
= −4 − (−3)*(−4) + 16
= −4 − 12 + 16 = 0
Итак:
det(A) = 3·D1 − a21·D2 + a31·D3 = 3·0 − 1·0 + (−1)·0 = 0
Ответ: определитель равен 0.
