Прямоугольник, длины обеих сторон которого принимают целочисленные значения, не меньшие 3, составлен из квадратов 1 × 1 (далее будем называть эти квадраты клетками). Для каждой…
Прямоугольник, длины обеих сторон которого принимают целочисленные значения, не меньшие 3, составлен из квадратов 1 × 1 (далее будем называть эти квадраты клетками). Для каждой клетки посчитали количество её соседей (соседними называются две клетки, имеющие общую сторону). Все посчитанные числа сложили и получили сумму 322. Найдите периметр прямоугольника.
Расписываем задачу по шагам.
Обозначим стороны прямоугольника как m и n (целые, m, n ≥ 3).
Подсчет суммы соседей.
- Любая пара соседних клеток (расположенных рядом по общей стороне) образует одну общую границу, которая учитывается в сумме дважды: по одной единице от каждой клетки.
- Число горизонтальных соседей: m строк по (n−1) соседей = m(n−1).
- Число вертикальных соседей: n столбцов по (m−1) соседей = n(m−1).
- Сумма по всем клеткам S равна 2·(горизнонтальные пары + вертикальные пары) = 2[m(n−1) + n(m−1)] = 4mn − 2m − 2n.
Дано S = 322, значит: 4mn − 2m − 2n = 322.
- Приведем к удобной форме. Разделим на 2: 2mn − m − n = 161.
Заметим, что (2m − 1)(2n − 1) = 4mn − 2m − 2n + 1 = 2(2mn − m − n) + 1 = 2·161 + 1 = 323.
- Факторизация 323. 323 = 17 · 19 (и можно поменять роли m и n). Так что: 2m − 1 = 17 и 2n − 1 = 19, или наоборот.
Из первого варианта: m = (17 + 1)/2 = 9, n = (19 + 1)/2 = 10. Из второго — m = 10, n = 9. Периметр у них одинаковый.
- Периметр прямоугольника. P = 2(m + n) = 2(9 + 10) = 38.
Ответ: периметр прямоугольника равен 38.
