В окружности с центром в точке O проведены диаметры AD и BC, угол AB равен 48°. Найдите величину угла DBC

Задача: в окружности с центром O даны диаметры AD и BC. Угол ABC равен 48°. Найдите угол DBC. Пояснение и решение (пошагово): 1) Обозначения и ключевые свойства - A и D — противоположные точки на окружности (AD — диаметр). - B и C — противоположные точки на окружности (BC — диаметр). - Пусть центральный угол AOB равен θ (то есть OA и OB образуют угол θ в центре). 2) Угол ABC через дугу AC - По теореме о вписанном угле: угол ABC равен половине меры дуги AC, которая не содержит точку B. - Следовательно, дуга AC, не содержащая B, имеет меру 2·∠ABC = 2·48° = 96°. - Эта же дуга AC не содержащая B составляет часть кружности между точками A и C. В нашем расположении она равна 180° − θ (поскольку дуга между A и D — 180°, а θ — угол между OB и OA). 3) Найдём θ - 180° − θ = 96° ⇒ θ = 84°. 4) Угол DBC через дугу DC - Угол DBC — вписанный угол, опирающийся на дугу DC, не содержащую B. - Дуга DC, не содержащая B, имеет меру θ (поскольку D = A+180°, а C = B+180°, разница по дуге составляет θ). - Значит ∠DBC = 1/2 · дуга DC = θ/2 = 84°/2 = 42°. Альтернативный взгляд: - Прямо заметно, что ∠ABC = (180° − θ)/2 и ∠DBC = θ/2, поэтому ∠ABC + ∠DBC = 90°. Отсюда ∠DBC = 90° − ∠ABC = 90° − 48° = 42°. Ответ: 42°.