в окружности с центром в точке O проведены диаметры AD и BC, угол AB равен 48°. Найдите величину угла DBC

Задача: в окружности с центром O даны диаметры AD и BC. Угол ABC равен 48°. Найдите угол DBC.

Пояснение и решение (пошагово):

1. Обозначения и ключевые свойства

• A и D — противоположные точки на окружности (AD — диаметр).
• B и C — противоположные точки на окружности (BC — диаметр).
• Пусть центральный угол AOB равен θ (то есть OA и OB образуют угол θ в центре).

2. Угол ABC через дугу AC

• По теореме о вписанном угле: угол ABC равен половине меры дуги AC, которая не содержит точку B.
• Следовательно, дуга AC, не содержащая B, имеет меру 2·∠ABC = 2·48° = 96°.
• Эта же дуга AC не содержащая B составляет часть кружности между точками A и C. В нашем расположении она равна 180° − θ (поскольку дуга между A и D — 180°, а θ — угол между OB и OA).

3. Найдём θ

• 180° − θ = 96° ⇒ θ = 84°.

4. Угол DBC через дугу DC

• Угол DBC — вписанный угол, опирающийся на дугу DC, не содержащую B.
• Дуга DC, не содержащая B, имеет меру θ (поскольку D = A+180°, а C = B+180°, разница по дуге составляет θ).
• Значит ∠DBC = 1/2 · дуга DC = θ/2 = 84°/2 = 42°.

Альтернативный взгляд:

• Прямо заметно, что ∠ABC = (180° − θ)/2 и ∠DBC = θ/2, поэтому ∠ABC + ∠DBC = 90°. Отсюда ∠DBC = 90° − ∠ABC = 90° − 48° = 42°.

Ответ: 42°.