√249

Разберём задачу √249 по шагам.

1. Разложение под корнем

• 249 = 3 × 83. Это произведение двух простых чисел, и среди множителей нет квадратичных факторов больше 1.
• Значит, корень из 249 не удаётся вынести как целый множитель. Это значит: простейшая радикальная форма — √249.

2. Оценка приближённого значения

• 15^2 = 225, 16^2 = 256. Значит √249 находится между 15 и 16, ближе к 16.

3. Приближённое значение методом Ньютона

• Пусть a = 249. Начальное приближение: x0 = 15.8 (наглядно близко, так как 15.8^2 = 249.64).
• Формула итераций Ньютона: x_{n+1} = (x_n + a/x_n) / 2.

Вычисления:

• 249 / 15.8 ≈ 15.7595
• x1 = (15.8 + 15.7595) / 2 ≈ 15.77975

Повторная итерация:

• 249 / 15.77975 ≈ 15.77966
• x2 = (15.77975 + 15.77966) / 2 ≈ 15.77971

Итак, sqrt(249) ≈ 15.7797 (до 4 знаков после запятой).

4. Округление

• За двумя знаками после запятой: √249 ≈ 15.78.

5. Проверка

• 15.78^2 = 249.0084, что очень близко к 249. Это подтверждает точность приближённого значения.

Вывод

• Точное представление: √249 — иррациональное число.
• Упрощённая форма: √249.
• Приближённое значение (для практических задач): ≈ 15.7797 (или ≈ 15.78 при двух знаках после запятой).