√249

Разберём задачу √249 по шагам. 1) Разложение под корнем - 249 = 3 × 83. Это произведение двух простых чисел, и среди множителей нет квадратичных факторов больше 1. - Значит, корень из 249 не удаётся вынести как целый множитель. Это значит: простейшая радикальная форма — √249. 2) Оценка приближённого значения - 15^2 = 225, 16^2 = 256. Значит √249 находится между 15 и 16, ближе к 16. 3) Приближённое значение методом Ньютона - Пусть a = 249. Начальное приближение: x0 = 15.8 (наглядно близко, так как 15.8^2 = 249.64). - Формула итераций Ньютона: x_{n+1} = (x_n + a/x_n) / 2. Вычисления: - 249 / 15.8 ≈ 15.7595 - x1 = (15.8 + 15.7595) / 2 ≈ 15.77975 Повторная итерация: - 249 / 15.77975 ≈ 15.77966 - x2 = (15.77975 + 15.77966) / 2 ≈ 15.77971 Итак, sqrt(249) ≈ 15.7797 (до 4 знаков после запятой). 4) Округление - За двумя знаками после запятой: √249 ≈ 15.78. 5) Проверка - 15.78^2 = 249.0084, что очень близко к 249. Это подтверждает точность приближённого значения. Вывод - Точное представление: √249 — иррациональное число. - Упрощённая форма: √249. - Приближённое значение (для практических задач): ≈ 15.7797 (или ≈ 15.78 при двух знаках после запятой).