y= − x 2 3 + 1 − 3 x 2 +1 .

Похоже, задача записана так: y = - x^(2/3) + 1 - 3x^2 + 1, что упрощается к y = - x^(2/3) - 3x^2 + 2. Я буду работать с этим вариантом. Если ваша запись другая, скажите — скорректирую решение.

Пошаговое решение

1. Приведём выражение к удобному виду

• y = 2 - x^(2/3) - 3x^2.

2. Домены и свойства

• Область определения: все действительные числа R, потому что x^(2/3) = (x^2)^(1/3) = |x|^(2/3) определено для любого x.
• Функция является четной: y(-x) = y(x).

3. Производная (для анализа экстремумов)

• Поскольку x^(2/3) = (|x|)^(2/3), применим производную для |x|^{2/3}: d/dx [|x|^{2/3}] = (2/3) |x|^{-1/3} · sign(x).
• Тогда для y = 2 - x^(2/3) - 3x^2 имеем:
  • для x > 0: y' = -(2/3) x^{-1/3} - 6x,
  • для x < 0: y' = +(2/3) (-x)^{-1/3} - 6x.
• В точке x = 0 производная не существует (крутой cusp).

4. Критические точки

• При x > 0: y' < 0 (поскольку оба члена отрицательны), значит нет решения y' = 0 на (0, ∞).
• При x < 0: y' > 0 (поскольку первый член положителен, а -6x тоже положителен), значит нет решения y' = 0 на (-∞, 0).
• Таким образом, вне точки 0 критических точек нет; есть cusp в x = 0.

5. Монотония и характер экстремума

• На (-∞, 0): y' > 0 → y возрастает.
• На (0, ∞): y' < 0 → y убывает.
• Таким образом, функция достигает максимума в точке x = 0 и удаляется от неё в обе стороны.

6. Значение в особой точке и поведение графика

• y(0) = 2.
• Так как доминирует у x^2 со знаком минус, при |x| → ∞ функция уйдёт вниз: y → -∞.
• Следовательно, диапазон функции: (-∞, 2].
• Примеры значений: y(0) = 2; y(1) = y(-1) = 2 - 1^(2/3) - 3(1)^2 = 2 - 1 - 3 = -2.

Итого

• Функция имеет глобальный максимум в точке x = 0: y = 2.
• Функция симметрична относительно оси y и убывает по мере удаления от нуля в обе стороны.
• Диапазон: (-∞, 2].

Если же исходное выражение было другим (например, y = - x^(2/3) + 1 - 3x^2 + 1 без суммирования до 2), скажите — я перепишу решение под правильную формулу и проложу анализ заново.