Задача 329
Дано: AN — биссектриса угла A в треугольнике ABC. N lies на BC.
a) Известно: ∠ANC = 67°, ∠ABC = 40°. Найти ∠ACB.
Обозначим углы:
- α = ∠A
- β = ∠B = 40°
- γ = ∠C = ∠ACB (то, что нужно найти)
С AN как биссектрисой имеем: ∠BAN = ∠NAC = α/2.
В треугольнике ANC сумма углов даёт:
∠NAC + ∠ANC + ∠ACN = 180°
α/2 + 67° + γ = 180°
α/2 + γ = 113°. (1)
Также в треугольнике ABC α + β + γ = 180° и β = 40°, поэтому:
α + γ = 140°. (2)
Из (1) и (2):
(140° − γ)/2 + γ = 113°
70° − γ/2 + γ = 113°
70° + γ/2 = 113°
γ/2 = 43°
γ = 86°.
Ответ: ∠ACB = 86°.
б) Известно: ∠ANB = 117°, ∠ACB = ∠C = 67°. Найти ∠ABC.
Обозначим углы как ранее:
- α = ∠A
- β = ∠B
- γ = ∠C = 67°
Так как NB и NC походят по одной прямой BC в противоположных направлениях, углы ∠ANB и ∠ANC образуют линейный пары:
∠ANC = 180° − ∠ANB = 180° − 117° = 63°.
В треугольнике ANC сумма углов даёт:
∠NAC + ∠ANC + ∠ACN = 180°
α/2 + 63° + γ = 180°
α/2 + 63° + 67° = 180°
α/2 = 180° − 130° = 50°
α = 100°.
Теперь из суммарной углов triangle ABC:
α + β + γ = 180°
100° + β + 67° = 180°
β = 180° − 167° = 13°.
Ответ: ∠ABC = 13°.
