329. а) В треугольнике ABC проведена биссектриса AN, угол ANC равен 67° , а угол ABC равен 40°. Найдите угол АСВ. б) В треугольнике ABC проведена биссектриса AN, угол ANB равен…

Задача 329

Дано: AN — биссектриса угла A в треугольнике ABC. N lies на BC.

a) Известно: ∠ANC = 67°, ∠ABC = 40°. Найти ∠ACB.

Обозначим углы:

• α = ∠A
• β = ∠B = 40°
• γ = ∠C = ∠ACB (то, что нужно найти)

С AN как биссектрисой имеем: ∠BAN = ∠NAC = α/2.

В треугольнике ANC сумма углов даёт: ∠NAC + ∠ANC + ∠ACN = 180° α/2 + 67° + γ = 180° α/2 + γ = 113°. (1)

Также в треугольнике ABC α + β + γ = 180° и β = 40°, поэтому: α + γ = 140°. (2)

Из (1) и (2): (140° − γ)/2 + γ = 113° 70° − γ/2 + γ = 113° 70° + γ/2 = 113° γ/2 = 43° γ = 86°.

Ответ: ∠ACB = 86°.

б) Известно: ∠ANB = 117°, ∠ACB = ∠C = 67°. Найти ∠ABC.

Обозначим углы как ранее:

• α = ∠A
• β = ∠B
• γ = ∠C = 67°

Так как NB и NC походят по одной прямой BC в противоположных направлениях, углы ∠ANB и ∠ANC образуют линейный пары: ∠ANC = 180° − ∠ANB = 180° − 117° = 63°.

В треугольнике ANC сумма углов даёт: ∠NAC + ∠ANC + ∠ACN = 180° α/2 + 63° + γ = 180° α/2 + 63° + 67° = 180° α/2 = 180° − 130° = 50° α = 100°.

Теперь из суммарной углов triangle ABC: α + β + γ = 180° 100° + β + 67° = 180° β = 180° − 167° = 13°.

Ответ: ∠ABC = 13°.