Выполните сложение дробей (2x + 3)/(x^2 - 16) + (x + 7)/(16 - x^2). Найдите значение этого выражения при x = -4.1.**
Цель: Понять. Решение подробно и по шагам.
Задача: (2x + 3)/(x^2 - 16) + (x + 7)/(16 - x^2). Найдите значение при x = -4.1.
- Приведём дроби к общему виду
- Заметим, что 16 - x^2 = -(x^2 - 16). Поэтому: (2x + 3)/(x^2 - 16) + (x + 7)/(16 - x^2) = (2x + 3)/(x^2 - 16) - (x + 7)/(x^2 - 16) = [(2x + 3) - (x + 7)] / (x^2 - 16) = (x - 4) / (x^2 - 16).
Разложим знаменатель: x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4). Тогда получаем: (x - 4) / [(x - 4)(x + 4)] = 1 / (x + 4), при x ≠ 4.
Обратите внимание: в первоначальном выражении запрещено x = ±4 (деление на ноль), поэтому дальнейшее упрощение корректно для знаменателя при x ≠ ±4.
Подстановка x = -4.1 Значение равно 1 / (x + 4) = 1 / (-4.1 + 4) = 1 / (-0.1) = -10.
Проверка (опционально, для понимания) x^2 = 16.81, x^2 - 16 = 0.81, 16 - x^2 = -0.81. Первая дробь: (2x + 3)/(x^2 - 16) = (-8.2 + 3)/0.81 = -5.2/0.81 ≈ -6.41975. Вторая дробь: (x + 7)/(16 - x^2) = 2.9 / (-0.81) ≈ -3.58025. Сумма ≈ -6.41975 + (-3.58025) = -10.0, что согласуется с полученным значением.
Ответ: -10.
