Реши задачу Четырехугольник АВСД вписан в окружность. Диагональ АС является биссектрисой угла ВАД и пересекаются с диагональю ВД в точке К. Найдите КС, если ВС=4, а АК=6.

Ответ: KC = 2. Пояснение: 1) Так как AC — биссектриса угла BAD в вписанном четырехугольнике ABCD, то углы BAC и CAD равны, значит дуги BC и CD равны, следовательно BC = CD. По условию BC = 4, значит CD = 4. 2) Обозначим AK = 6, KC = t. В треугольнике BAD AK — внутренняя биссектриса, которая пересекает сторону BD в K. Считаем через длину биссектрисы: AK^2 = AB·AD [1 − BD^2/(AB+AD)^2]. Также пересечение двух хорд AC и BD в точке K дает AK·KC = BK·KD. Из теоремы биссектора BK/KD = AB/AD и BK = BD·AB/(AB+AD), KD = BD·AD/(AB+AD), получаем BK·KD = BD^2·AB·AD/(AB+AD)^2. Следовательно AK·KC = AB·AD − AK^2, т.е. AB·AD = AK·KC + AK^2 = 6t + 36. (1) 3) Из Птолемеевой теоремы для вписанного quadrilateral: AC·BD = AB·CD + BC·AD. Поскольку BC = CD = 4, имеем AC·BD = 4(AB+AD). Тогда BD/(AB+AD) = 4/AC, и BD^2/(AB+AD)^2 = 16/AC^2. (2) Из (2) и (1) можно записать: 36 = AB·AD [1 − BD^2/(AB+AD)^2] = AB·AD [1 − 16/AC^2]. Следовательно AB·AD = 36 AC^2/(AC^2 − 16). (3) Но AC = AK + KC = 6 + t, и из (1) AB·AD = 6t + 36. Поэтому 6t + 36 = 36 (6 + t)^2 / [(6 + t)^2 − 16]. Решая это уравнение относительно t, получаем t = 2 (зануляющее решение t = −8 некорректно для длины). Итак, KC = 2.