Диагонали прямоугольника MNKP пересекаются в точке О, ∠MON = 64°. Найдите угол ОМР.
Задача имеет небольшую опечатку: в прямоугольнике MNKP нет точки R, скорее всего имелась в виду точка P. Поэтому будем находить угол ∠OMP (угол при вершине M между MO и MP). Ответ будет равен половине данного угла MON, то есть 32°. Ниже подробное решение.
Пусть прямоугольник MNKP расположен так, чтобы M = (0,0), N = (a,0), P = (0,b), K = (a,b) с a > 0, b > 0.
- Диагонали MK и NP пересекаются в O. Направления диагоналей:
- MK направлена вектором v1 = (a, b).
- NP направлена вектором v2 = (-a, b).
Угол MON есть угол между направлениями MO (направление вдоль MK) и NO (направление вдоль NP), т.е. между v1 и v2. cosMON = (v1 · v2) / (|v1||v2|) = ((a)(-a) + b·b) / (√(a^2 + b^2)·√(a^2 + b^2)) = (b^2 − a^2) / (a^2 + b^2).
Дано MON = 64°. Значит (b^2 − a^2) / (a^2 + b^2) = cos 64°.
- Найдем отношение a/b. Обозначим t = a^2 / b^2. Тогда (1 − t) / (1 + t) = cos 64°. Отсюда t = (1 − cos 64°) / (1 + cos 64°) = tan^2(32°).
Следовательно a/b = √t = tan 32°.
Найдём угол ∠OMP. Этот угол состоит между диагональю MK (направление v1 = (a,b)) и стороной MP (направление вдоль вектора MP = (0,b), то есть вертикалью). Угол между диагональю MK и вертикалью равен arctan(a/b) = arctan(t) = 32°.
Ответ. ∠OMP = 32°. Так как MON = 64°, угол, образованный диагоналями, вдвое больше угла между одной диагональю и боковой стороной в вершине M. Поэтому и ∠OMR (при условии, что R = P) равен 32°.
Итог: ∠OMR = 32° (при предположении, что имелась в виду точка P, т.е. угол между MO и MP). Если под R подставить другой элемент, укажите точное обозначение, и решение скорректируем.
