x²-3х+255

Разбор выражения x^2 - 3x + 255

Так как задача дана как квадратный полином (и цель — понять), рассмотрим несколько стандартных способов анализа.

1. Общая информация о корнях (если рассматривать как уравнение)

• Пусть решаем x^2 - 3x + 255 = 0.
• Дискриминант Δ = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4·1·255 = 9 - 1020 = -1011.
• Так как Δ < 0, действительных корней нет. Есть два комплексных корня: x = (3 ± i√1011)/2.

2. Приведение к канонической форме ( completing the square )

• Начальное выражение: x^2 - 3x + 255.
• Сделаем квадрат из x^2 и -3x: x^2 - 3x = (x - 3/2)^2 - (3/2)^2 = (x - 3/2)^2 - 9/4.
• Добавим 255: x^2 - 3x + 255 = (x - 3/2)^2 - 9/4 + 255 = (x - 3/2)^2 + 1011/4.
• Это каноническая (вершинная) форма параболы.

3. Вершина и минимальное значение

• Коэффициент при x^2 положительный (a = 1), значит парабола открывается вверх.
• Пересечение оси абсцисс (вершина) в x = 3/2.
• Минимальное значение функции f(x) = x^2 - 3x + 255 равно f(3/2) = 1011/4 = 252.75.
• Значит выражение всегда больше или равно 1011/4, и равно этому значению только в точке x = 3/2.

4. Разложение на множители (по окрестности комплексных корней)

• Так как действительных корней нет, разложение на вещественные множители невозможно.
• В комплексной области: x^2 - 3x + 255 = (x - (3/2) - i√1011/2) · (x - (3/2) + i√1011/2).

Итого:

• Если рассматривать как уравнение, корни комплексные: x = (3 ± i√1011)/2.
• Вершинная форма: x^2 - 3x + 255 = (x - 3/2)^2 + 1011/4.
• Минимум функции: 1011/4 при x = 3/2.