отрезки AC и BD точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что треугольникABC=треугольнику CDA

Пусть точки A, B, C, D образуют произвольный выпуклый четырехугольник, пересечение диагоналей AC и BD обозначим как O. Дано AO = OC и BO = OD.

1. Рассмотрим треугольники AOB и COD. У них AO = OC, BO = OD, и ∠AOB и ∠COD — вертикальные углы, значит они равны. По признаком SAS треугольники AOB и COD congruent. Следовательно AB = CD.

2. Аналогично рассмотрим треугольники AOD и COB. AO = OC, DO = OB, и ∠AOD = ∠COB (вертикальные углы). По SAS эти треугольники равны, значит AD = BC.

3. Теперь в треугольниках ABC и CDA имеют по три равные стороны: AB = CD, BC = AD и AC общая сторона (AC = CA). По признаку равенства трёх сторон (SSS) треугольники ABC и CDA равны.

Следовательно, треугольник ABC равен треугольнику CDA.