log 1_4 x=y

Понимаю задачу как: log базиса 1/4 от x равно y, то есть log_{1/4} x = y. Укажу решение в двух направлениях: выразить x через y и выразить y через x. Также дам пару примеров и заметок по домену.

1. Выразить x через y

• Исользуем определение логарифма: если log_b x = y, то x = b^y.
• Здесь b = 1/4. Значит: x = (1/4)^y.
• Эквивалентно можно записать: x = 4^{-y}.
• Домен: x > 0 (логарифм определён только для положительных x).

2. Выразить y через x

• По определению логарифма: y = log_{1/4} x.
• Через изменение основания: y = ln x / ln(1/4) = ln x / (-ln 4) = - (ln x)/(ln 4) = - log_4 x.
• Примеры значений:
  • Если x = 1, то y = log_{1/4} 1 = 0.
  • Если x = 4, то y = log_{1/4} 4 = -1.
  • Если x = 1/4, то y = log_{1/4} (1/4) = 1.

3. Важные свойства

• База b = 1/4 лежит в интервале (0, 1). Логарифм с такой базой является убывающей функцией: при увеличении x y уменьшается.
• Для любой x > 0 значение y существует и является реальным.

4. Короткая сводка

• Уравнение log_{1/4} x = y эквивалентно x = (1/4)^y = 4^{-y}.
• Или y = log_{1/4} x = - log_4 x.
• Домены: x > 0; y — для любого x > 0 существует реальное значение y.

Если нужно, могу привести дополнительное графическое объяснение или решить конкретные числовые примеры.