(x-3)⁴-3(x-3)²-10=0
Решение задачи: (x-3)^4 - 3(x-3)^2 - 10 = 0
Цель: понять пошагово, как найти корни.
Замечание по структуре Это биквадратное уравнение: переменная внутри второго порядка. Введём новую переменную: y = (x-3)^2. Тогда уравнение перепишется как квадратичное относительно y: y^2 - 3y - 10 = 0.
Решение квадратного уравнения в y Решим y^2 - 3y - 10 = 0. Можно разложить на множители: (y - 5)(y + 2) = 0. Отсюда y = 5 или y = -2.
Возвращение к x (для действительных корней) Поскольку y = (x-3)^2, для действительных x выполнено y ≥ 0. Значит y = -2 недопустимо для реальных решений. Реальные решения дают y = 5.
Решение для x Из y = (x-3)^2 равенствуем: (x-3)^2 = 5. Следовательно, x - 3 = ±√5, x = 3 ± √5.
Ответ real-ко́ри: x = 3 + √5 и x = 3 - √5. приближённо: ≈ 5.236 и ≈ 0.764.
Дополнительно (для полноты) Если рассмотреть комплексные корни, то из y = -2 получаем (x-3)^2 = -2 → x = 3 ± i√2. Тогда полный набор корней в комплексной области: x = 3 ± √5 и x = 3 ± i√2.
Проверка (для реальных корней): Подставим x с любым из реальных значений, например x = 3 + √5: (x-3)^2 = 5, (x-3)^4 = 25, выражение = 25 - 3·5 - 10 = 0. Убедились, корректно.
