Известно, что `|20veca-vecb|=|veca-20vecb|`. Докажите, что |`veca`|=|`vecb`|

Задача про векторы a и b: дано ||20a − b|| = ||a − 20b||. Нужно показать, что ||a|| = ||b||. Пошаговое решение: 1) Перепишем равенство длин как равенство квадратов норм: ||20a − b||^2 = ||a − 20b||^2. 2) Раскроем квадраты нормы через скалярное произведение (для реальных векторов): ||20a − b||^2 = (20a − b) · (20a − b) = 400||a||^2 − 40(a · b) + ||b||^2. ||a − 20b||^2 = (a − 20b) · (a − 20b) = ||a||^2 − 40(a · b) + 400||b||^2. Здесь использовано свойство скалярного произведения: (x − y) · (x − y) = x·x − 2x·y + y·y, и толкование коэффициентов поразрядно. 3) Приравняем обе стороны и упростим. Слeдует: 400||a||^2 − 40(a · b) + ||b||^2 = ||a||^2 − 40(a · b) + 400||b||^2. Скрестим одинаковые слагаемые: −40(a · b) обеих сторон сокращаются. Получаем: 400||a||^2 + ||b||^2 = ||a||^2 + 400||b||^2. 4) Перенесём члены с ||a||^2 и ||b||^2 в одну сторону: 399||a||^2 = 399||b||^2. 5) Разделим на 399 (не ноль), получаем: ||a||^2 = ||b||^2. Так как нормы неотрицательны, из равенства квадратов следует равенство самих норм: ||a|| = ||b||. Ответ: ||a|| = ||b||.