Известно, что `|20veca-vecb|=|veca-20vecb|`. Докажите, что |`veca`|=|`vecb`|

Задача про векторы a и b: дано ||20a − b|| = ||a − 20b||. Нужно показать, что ||a|| = ||b||.

Пошаговое решение:

1. Перепишем равенство длин как равенство квадратов норм: ||20a − b||^2 = ||a − 20b||^2.

2. Раскроем квадраты нормы через скалярное произведение (для реальных векторов): ||20a − b||^2 = (20a − b) · (20a − b) = 400||a||^2 − 40(a · b) + ||b||^2. ||a − 20b||^2 = (a − 20b) · (a − 20b) = ||a||^2 − 40(a · b) + 400||b||^2. Здесь использовано свойство скалярного произведения: (x − y) · (x − y) = x·x − 2x·y + y·y, и толкование коэффициентов поразрядно.

3. Приравняем обе стороны и упростим. Слeдует: 400||a||^2 − 40(a · b) + ||b||^2 = ||a||^2 − 40(a · b) + 400||b||^2.

   Скрестим одинаковые слагаемые: −40(a · b) обеих сторон сокращаются.

   Получаем: 400||a||^2 + ||b||^2 = ||a||^2 + 400||b||^2.

4. Перенесём члены с ||a||^2 и ||b||^2 в одну сторону: 399||a||^2 = 399||b||^2.

5. Разделим на 399 (не ноль), получаем: ||a||^2 = ||b||^2.

   Так как нормы неотрицательны, из равенства квадратов следует равенство самих норм: ||a|| = ||b||.

Ответ: ||a|| = ||b||.