y = 3 - x +1 y =1/2 x-2 y = x² по теме построение функции графика с чертежом
Задача: построить графики трех функций на одной плоскости для темы “построение графика” (Алгебра, 8-й класс, цель: Понять).
Даны функции:
- y = 4 - x (то же самое: y = -x + 4)
- y = (1/2)x - 2
- y = x^2
Цель этого решения: пошагово разобрать, как строить графики и найти важные точки, чтобы можно было нарисовать чертёж.
- Основные свойства функций (для построения)
Функция 1: y = 4 - x
- Тип: линейная, график — прямая.
- Наклон: m = -1 (убывает).
- y-перехват: b = 4 (точка пересечения с осью y — (0, 4)).
- x-перехват: при y = 0 получаем x = 4, точка (4, 0).
Функция 2: y = (1/2)x - 2
- Тип: линейная.
- Наклон: m = 1/2.
- y-перехват: b = -2 (точка пересечения с осью y — (0, -2)).
- x-перехват: при y = 0 получаем x = 4, точка (4, 0).
Функция 3: y = x^2
- Тип: квадратичная, график — парабола.
- Вершина: (0, 0) (ось симметрии x = 0).
- Точки по оси: при x = 0 → y = 0; при x = ±1 → y = 1; при x = ±2 → y = 4; при x = ±3 → y = 9.
- x-перехваты: единственная точка (0, 0), но с двумя симметричными точками за пределами.
- Какие точки взять для чертежа (наглядная раскладка)
Для y = 4 - x:
- (0, 4)
- (4, 0)
- (-2, 6) и еще пару точек, например (1, 3) или (-1, 5), чтобы лучше провести прямую.
Для y = (1/2)x - 2:
- (0, -2)
- (4, 0)
- (2, -1) и (-2, -3) — для удобной прорисовки линии.
Для y = x^2:
- (-3, 9), (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9)
- Пересечения графиков (полезно для общей картины)
Линия L1: y = 4 - x и линия L2: y = (1/2)x - 2
- Решаем 4 - x = (1/2)x - 2 → 6 = (3/2)x → x = 4
- Соответственно y = 0
- Пересечение: (4, 0)
Линия L1 и парабола y = x^2
- Решаем x^2 = 4 - x → x^2 + x - 4 = 0
- Корни: x = (-1 ± sqrt(17)) / 2
- Точки пересечения:
- x1 = (-1 + sqrt(17))/2 ≈ 1.5615, y1 ≈ x1^2 ≈ 2.437
- x2 = (-1 - sqrt(17))/2 ≈ -2.5615, y2 ≈ x2^2 ≈ 6.561
- Точки примерно: (1.56, 2.44) и (-2.56, 6.56)
Парабола и линейная y = (1/2)x - 2
- Решаем x^2 = (1/2)x - 2 → x^2 - (1/2)x + 2 = 0
- Дискриминант D = (−1/2)^2 - 4·1·2 = 1/4 - 8 < 0
- Реальных точек пересечения нет.
- Как построить на практике (пошагово)
- Возьмите лист графической бумаги или экраны с одинаковым масштабом по осям. Обычно 1 ед. = 1 ед.
- Нарисуйте оси координат и отметьте шкалу по обеим осям.
- Постройте график y = 4 - x
- Отметьте точку (0, 4) и (4, 0), добавьте ещё пару точек, например (1, 3) и (-1, 5), соедините прямой линией.
- Постройте график y = (1/2)x - 2
- Отметьте точку (0, -2) и (4, 0), ещё точку (2, -1), и соедините прямой линией.
- Постройте график y = x^2
- Отметьте вершину (0, 0). Затем проложите параболу через точку (1, 1), (-1, 1), (2, 4), (-2, 4), и т.д. Плавно выгните вверх.
- Обозначьте точки пересечения:
- Пересечение L1 и L2: (4, 0)
- Пересечение L1 и параболы: примерно (-2.56, 6.56) и (1.56, 2.44)
- Пересечение L2 и параболы: нет реальных точек пересечения (линию L2 можно держать ниже параболы на всём участках графика).
- Быстрый контроль и полезные заметки
- Линии y = 4 - x и y = (1/2)x - 2 обе пересекаются ось x в точке (4, 0). Это видно по расчетам.
- Парабола y = x^2 лежит выше линии y = (1/2)x - 2 на всём диапазоне графика (пересечений с ней нет).
- График параболы симметричен относительно оси x = 0.
- Альтернатива для построения (быстрый график онлайн)
- Откройте Desmos (desmos.com) или любой графический калькулятор.
- Введите три уравнения:
- y = 4 - x
- y = (1/2)x - 2
- y = x^2
- Получите наглядное изображение и автоматически увидите точки пересечения: L1∩L2 = (4,0), L1∩Parabola ≈ (-2.56, 6.56) и (1.56, 2.44), а пересечение L2 и параболы отсутствуют.
Если хотите, могу прислать вам готовый чертёж в виде изображения на выбранном масштабе или сгенерировать точную Desmos-ссылку, чтобы вы просто открыли и распечатали график. Также могу подобрать другой масштаб (например, x от -3 до 5, y от -3 до 10) и дать готовые координаты точек для печати.
