Сгенерируй тест для школьников с учетом следующих параметров: 1. Предмет: Алгебра 2. Тема теста: Квадратичная функция, график и ее свойства. 3. Класс учеников: 9 4. Типы вопросов в тесте: Открытый вопрос 5. Количество вопросов: 5 6. Выводить ли тест с ответами: Да

Ниже приведён тест по алгебре для 9 класса на тему: квадратичная функция, график и его свойства. Тип заданий: открытые вопросы. Количество вопросов: 5. Включены ответы. 1) Вопрос 1 Дана квадратичная функция f(x) = 2x^2 − 8x + 3. Найдите: - вершину параболы и ось симметрии; - направление ветвей; - пересечения с осями координат (y-перехват и x-перехваты); - диапазон значений функции. 2) Вопрос 2 Дана функция в канонической форме f(x) = 0.5 (x − 2)^2 − 1. Найдите: - вершину и ось симметрии; - направление ветвей; - пересечения с осями (y-перехват и x-перехваты); - диапазон значений функции. 3) Вопрос 3 Дана функция f(x) = x^2 − 4x. Найдите: - вершину и ось симметрии; - направление ветвей; - пересечения с осями (y-перехват и x-перехваты); - диапазон значений функции. 4) Вопрос 4 Парабола имеет вершину в точке (−1, −2) и пересекает ось y в точке y = 5. Найдите: - уравнение параболы в канонической форме; - приведите также эквивалентную ей стандартную форму (f(x) = ax^2 + bx + c); - ось симметрии и направление ветвей. 5) Вопрос 5 Для функции f(x) = x^2 + 2x + 5 найдите: - дискриминант D; - число вещественных корней и их существование (если есть); - вершину, ось симметрии и диапазон значений. Ответы 1) Ответ к вопросу 1 - a = 2, b = −8, c = 3 - вершина x_v = −b/(2a) = −(−8)/(4) = 2; y_v = f(2) = 2·4 − 16 + 3 = −5 → вершина (2, −5) - ось симметрии: x = 2 - направление ветвей: a > 0, значит парабола открывается вверх - y-перехват: f(0) = 3 - x-перехваты: решаем 2x^2 − 8x + 3 = 0. D = (−8)^2 − 4·2·3 = 64 − 24 = 40; x = (8 ± √40)/(4) = (8 ± 2√10)/4 = (4 ± √10)/2 приближённо: x ≈ 0.419 и x ≈ 3.581 - диапазон: от минимального значения до бесконечности: [−5, ∞) 2) Ответ к вопросу 2 - f(x) = 0.5(x − 2)^2 − 1 → вершина (2, −1); ось симметрии: x = 2 - направление ветвей: a = 0.5 > 0 → вверх - y-перехват: f(0) = 0.5(−2)^2 − 1 = 0.5·4 − 1 = 1 - x-перехваты: 0.5(x − 2)^2 − 1 = 0 → (x − 2)^2 = 2 → x = 2 ± √2 приблизительно: x ≈ 0.586 и x ≈ 3.414 - диапазон: [−1, ∞) 3) Ответ к вопросу 3 - f(x) = x^2 − 4x → a = 1, b = −4, c = 0 - вершина: x_v = −b/(2a) = −(−4)/2 = 2; y_v = f(2) = 4 − 8 = −4 → вершина (2, −4) - ось симметрии: x = 2 - направление ветвей: a > 0 → вверх - y-перехват: f(0) = 0 - x-перехваты: x(x − 4) = 0 → x = 0 и x = 4 - диапазон: [−4, ∞) 4) Ответ к вопросу 4 - вершина: (h, k) = (−1, −2) - y-перехват: f(0) = 5 - каноническая форма: f(x) = a(x + 1)^2 − 2; подстановка f(0) = 5 даёт 5 = a·1^2 − 2 → a = 7 Значит: f(x) = 7(x + 1)^2 − 2 - стандартная форма: расширяем: 7(x^2 + 2x + 1) − 2 = 7x^2 + 14x + 7 − 2 = 7x^2 + 14x + 5 - ось симметрии: x = −1 - направление ветвей: вверх (a > 0) 5) Ответ к вопросу 5 - f(x) = x^2 + 2x + 5 → a = 1, b = 2, c = 5 - дискриминант: D = b^2 − 4ac = 4 − 20 = −16 < 0 - вещественных корней нет (есть комплексные); parabola открывается вверх - вершина: x_v = −b/(2a) = −2/2 = −1; y_v = f(−1) = 1 − 2 + 5 = 4 → вершина (−1, 4) - ось симметрии: x = −1 - диапазон значений: [4, ∞)