Точка K лежит на стороне АВ, а точка М— на стороне CD паралелограмма ABCD,причем AK=KB,CM:MD=2:5 а) выразите вектор KM через векторы p=AB и q=AD б) может ли при каком нибудь значении x выполнятся равенство KM=xCB

Решение векторное и основано на выборе системы координат через векторы p = AB и q = AD. 1) Пусть A — начало координат. Тогда: - AB = p, AD = q. - B = p, D = q, C = p + q. 2) Точка K лежит на AB и AK = KB, значит K — середина AB: - K = A + 1/2 AB = (1/2) p. 3) Точка M лежит на CD и CM:MD = 2:5. - Направление CD: D − C = q − (p + q) = −p. - Множество деления от C к D в отношении 2:5 даёт, что M находится на расстоянии 2/7 от C к D: M = C + (2/7)(D − C) = (p + q) + (2/7)(−p) = q + (5/7) p. 4) Вектор KM: - KM = M − K = [q + (5/7) p] − (1/2) p - KM = q + (5/7 − 1/2) p = q + (3/14) p. Итак, вектор KM через p и q: - KM = (3/14) p + q. - Или эквивалентно: KM = (3/14) AB + AD. 2) Может ли выполняться KM = x CB для какого-либо x? - Вектор CB = B − C = p − (p + q) = −q. - Предположим, что KM = x CB. Тогда: (3/14) p + q = x(−q) = −x q. - Сравнивая коэффициенты по независимым базисам p и q (при ненулевых p и q), получаем: коэффициент по p слева равен 3/14, справа — 0; значит 3/14 = 0, что невозможно. - Следовательно, для не degenerate параллелограмма таких x не существует. Замечание: если AB = 0 (degenerate случай), то p = 0 и KM = q, CB = −q. Тогда KM = x CB даёт q = −x q → x = −1. Но такой случай обычно не рассматривают как обычную геометрию параллелограмма. Ответ: а) KM = (3/14) AB + AD (то есть KM = q + (3/14) p); б) При ненулевых p и q такого x не существует (KM не параллелен CB).