log ⁡ 2 x + log ⁡ 2 ( x − 1 ) ⩽ 1 log 2 ​ x+log 2 ​ (x−1)⩽1 решить с осью8387

Задача: решить неравенство log_2 x + log_2 (x−1) ≤ 1.

Пошагово:

1. Определение области допустимых значений (Domain):

• Требуется x > 0 и x − 1 > 0, значит x > 1.

2. Объединение логарифмов:

• log_2 x + log_2 (x−1) = log_2 [ x(x−1) ].
• Следовательно, неравенство становится log_2 [ x(x−1) ] ≤ 1.

3. Преобразование неравенства (логарифм по основанию 2, который > 1, возрастает):

• log_2 y ≤ 1 эквивалентно y ≤ 2, при условии y > 0.
• Таким образом, нужно выполнить: x(x−1) ≤ 2.

4. Решение квадратного неравенства:

• x^2 − x ≤ 2 → x^2 − x − 2 ≤ 0.
• Раскладываем: (x − 2)(x + 1) ≤ 0.
• С учетом параболы наверху, решение: x ∈ [-1, 2].

5. Совмещение с областью допустимых значений:

• Область: x > 1.
• Пересечение: (1, ∞) ∩ [-1, 2] = (1, 2].

Ответ: x ∈ (1, 2].

Дополнительно (для наглядности на оси X):

• На оси X допустимый участок — от 1 до 2, включая 2, но не достигая 1. Если отрисовывать график левой части неравенства или сами логарифмы, область решения будет именно от 1 до 2 с концевым точкой 2 включённой.