биссектриса параллелограмма ABCD делит его сторону DC на отрезке CK 21 см идк 6 см найдите его периметр

Задача: в параллелограмме ABCD биссектриса угла ABC пересекает сторону DC в точке K так, что CK = 21 см, DK = 6 см. Найти периметр параллелограмма.

Пояснение и решение

• По условию CK = 21 см и DK = 6 см следовательно DC = CK + KD = 27 см. Так как противоположные стороны параллелограмма равны, AB = DC = 27 см.

• Пусть вектор BC имеет длину b (это и есть искомая сторона BC). Разместим точки в системе координат:

  • A = (0, 0)
  • B = (27, 0) (AB = 27)
  • D = (x, y)
  • C = (x + 27, y)
  • так как DK = 6, то K лежит на DC в точке K = (x + 6, y)

  Тогда BK = K − B = (x + 6 − 27, y) = (x − 21, y), BC = C − B = (x, y), BA = A − B = (−27, 0).

• По условию BK — биссектриса угла ABC, значит углы между BK и BA и между BK и BC равны. Это эквивалентно равенству косинусов этих углов: (BK · BA)/(|BK||BA|) = (BK · BC)/(|BK||BC|).

  Подставим векторы: BK · BA = (x − 21)(−27) = −27x + 567 |BA| = 27

  BK · BC = (x − 21)x + y^2 = x^2 − 21x + y^2 |BC| = sqrt(x^2 + y^2) =: b

  Равенство даёт после сокращений: (−x + 21) = (x^2 − 21x + y^2)/b так как x^2 + y^2 = b^2, получаем (−x + 21) b = b^2 − 21x

  Переписывая и упорядочивая: b^2 + xb − 21x − 21b = 0 что факторуется как (b − 21)(b + x) = 0.

  Поскольку b > 0, а degenerate/parallelogram с y = 0 исключаем, имеем b = 21.

• Значит BC = 21 см. Периметр параллелограмма: P = 2(AB + BC) = 2(27 + 21) = 96 см.

Ответ: 96 см.