Вагон массой соединений с электровозом массой М пружинной жëскостью К. Найдите ускорение состава, если на электровозе действует тормозящая сила F . Определите сжатие пружины

Задача: локомотив массой M тянут за вагон массой m соединённой между собой пружиной жесткости K. На электровоз действует тормозящая сила F. Найти ускорение состава и определить сжатие пружины. Допущения: - горизонтальная плоскость, трение отсутствует. - направление по правой стороне считается положительным. - пружина между массами, её упругая сила F_s = K(x1 − x2), где x1 — положение локомотива, x2 — положение вагона. - тормозящая сила F действует на локомотив в противоположном движению направлении. Обозначения: - x1(t) — положение локомотива, M. - x2(t) — положение вагона, m. - y(t) = x1(t) − x2(t) — относительное смещение пружины (удлинение/сжатие). 1) уравнения движения системы Масса M: M x1'' = −F − K(x1 − x2) Масса m: m x2'' = +K(x1 − x2) Ускорение центра масс (ускорение состава как единого тела): a_cm = x_cm'' = (M x1'' + m x2'') / (M + m) = −F / (M + m) Ответ: ускорение состава равно F/(M+m) влево (модуль F/(M+m)). 2) относительное движение пружины y = x1 − x2. Тогда y'' = x1'' − x2''. Из первых двух уравнений: x1'' = (−F − K y) / M x2'' = (K y) / m Следовательно, y'' = (−F − K y)/M − (K y)/m = −F/M − K y (1/M + 1/m) = −F/M − K (M + m)/(M m) y. Перепишем так, чтобы получить стандартное копирование: y'' + ω^2 y = −F/M, где ω^2 = K (M + m) / (M m). Это линейное уравнение с постоянными коэффициентами. 3) решение для y(t) и конкретное решение Общее решение: y(t) = y_p + C1 cos(ω t) + C2 sin(ω t), где фиксированное значение y_p = −F / (M ω^2) = −F / [M · K (M + m)/(M m)] = − F m / [K (M + m)] и ω = sqrt[ K (M + m) / (M m) ]. Если задать начальные условия по умолчанию (до торможения масса двигалась с одинаковой скоростью, пружина была в естественном состоянии, то есть y(0) = 0 и y'(0) = 0), то: 0 = y(0) = y_p + C1 ⇒ C1 = −y_p, 0 = y'(0) = −C1 ω sin(0) + C2 ω cos(0) ⇒ C2 = 0. Получаем стандартное движение относительного смещения: y(t) = y_p [1 − cos(ω t)] то есть относительное смещение колеблется с амплитудой |y_p| вокруг среднего значения y_p. 4) сжатие пружины Сжатие пружины положительно convention: Δ(t) = −y(t) (упругая сила направлена к уменьшению длины пружины). Тогда Δ(t) = −y(t) = (F m / [K (M + m)]) [1 − cos(ω t)], где ω = sqrt[ K (M + m) / (M m) ]. Максимальное сжатие (при cos(ω t) = −1) равно Δ_max = 2 F m / [K (M + m)]. Итоговые выражения: - ускорение состава: a_cm = F/(M + m) в противоположную торможению сторону (модуль: F/(M+m)). - сжатие пружины во времени (при начальных условиях y(0)=0, y'(0)=0): Δ(t) = (F m / [K (M + m)]) [1 − cos(√(K (M + m)/(M m)) t)]. - максимальное сжатие: Δ_max = 2 F m / [K (M + m)]. Если начальные условия другие (например, начальная деформация пружины не нулевая или начальная скорость относительная не равна нулю), общие формулы остаются, нужно подставить соответствующие C1 и C2 изначальным условиям.