В параллелограмме ABCD через точку пересечения его диагоналей O проведена прямая NM, параллельная стороне BC. Докажите, что NM проходит через середины сторон AB и CD.

Задача: В параллелограмме ABCD через точку пересечения диагоналей O проведена прямая NM, параллельная стороне BC. Докажите, что NM проходит через середины сторон AB и CD. Решение (пошагово): 1) Без ограничения общности введём координаты: - Пусть A = (0, 0), B = (b, 0) и D = (0, d) (b ≠ 0, d ≠ 0). Тогда C = B + D − A = (b, d). 2) Точка O — пересечение диагоналей AC и BD, в параллелограмме diagonалы бисектрируют друг друга, поэтому O является серединой обеих диагоналей. На координатной оси это даёт - O = середина AC = ((0 + b)/2, (0 + d)/2) = (b/2, d/2). 3) Прямая NM проходит через O и параллельна BC. Направление BC равно вектору C − B = (b, d) − (b, 0) = (0, d), т.е. BC вертикальна. Значит NM тоже вертикальна и имеет равносильное уравнение по x, равное x = b/2. 4) Точка M — пересечение NM с AB. AB задаётся как отрезок от A(0,0) до B(b,0), то есть y = 0. Пересечение с x = b/2 даёт M = (b/2, 0). Это середина AB, поскольку координаты концов AB по x равны 0 и b. 5) Точка N — пересечение NM с CD. CD задаётся как отрезок от C(b,d) до D(0,d), то есть y = d. Пересечение с x = b/2 даёт N = (b/2, d). Это середина CD, поскольку координаты концов CD по x равны b и 0. 6) Следовательно, NM проходит через середины AB и CD (точки M и N соответствуют серединам AB и CD). Итак, через точку O, параллельную BC, проведённая прямая NM пересекает AB и CD в их серединах.