Две стороны треугольника равны ав=6√ 3 см и вс=6√2 см. Против больше из них лежит угол с=60°, найдите остальные углы треугольника и радиус описанной и вписанной окружности.
Задача решается в следующих обозначениях: обозначим вершины треугольника ABC так, что сторона AB относится к c, BC — к a, CA — к b. Тогда углы противоположны соответственно a, b, c. По условию:
- AB = c = 6√3 см
- BC = a = 6√2 см
- угол C = γ = 60° (против стороны c)
- Найдём сторону b с помощью закона косинусов: c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos γ
Подставим известные значения: (6√3)^2 = (6√2)^2 + b^2 − 2(6√2)b cos 60° 108 = 72 + b^2 − 2·6√2·b·(1/2) 108 = 72 + b^2 − (6√2)b
Получаем квадратное уравнение: b^2 − (6√2) b − 36 = 0
Дискриминант D = (6√2)^2 − 4·1·(−36) = 72 + 144 = 216 = (6√6)^2. Решение: b = [6√2 ± 6√6]/2 = 3√2 ± 3√6 Положительноe решение: b = 3√2 + 3√6 = 3(√2 + √6).
Радиус описанной окружности R. По закону синусов c / sin γ = 2R. sin γ = sin 60° = √3/2. Тогда c / sin γ = (6√3) / (√3/2) = 12 ⇒ 2R = 12 ⇒ R = 6 см.
Остальные углы A и B. По синусам: sin A = a / (2R) = (6√2) / 12 = √2/2 ⇒ A = 45°. Следовательно B = 180° − A − γ = 180° − 45° − 60° = 75°.
Площадь треугольника Δ. Можно взять Δ = (1/2)ab sin γ (тогда угол γ между сторонами a и b). Δ = (1/2) · (6√2) · [3(√2+√6)] · sin 60° поскольку sin 60° = √3/2, получаем Δ = 27 + 9√3.
Полупериметр s: s = (a + b + c) / 2 = [6√2 + 3(√2+√6) + 6√3] / 2 = (9√2)/2 + (3√6)/2 + 3√3.
Радиус вписанной окружности r. Обычно r = Δ / s. Следуя выражениям выше, можно привести к компактной форме: r = 6(3 + √3) / (3√2 + √6 + 2√3) ≈ 2.80 см.
Итого:
- Углы треугольника: ∠A = 45°, ∠B = 75°, ∠C = 60°.
- Радиусы: R (описанной окружности) = 6 см, r (вписанной окружности) ≈ 2.80 см.
- Длины сторон: AB = c = 6√3 см, BC = a = 6√2 см, CA = b = 3(√2 + √6) см.
