Комбинации,чтобы собрать кубик рубика

Задача: сколько существует комбинаций (позиций) кубика Рубика 3x3, чтобы собрать его? Ответ: 43 252 003 274 489 856 000 позиций, если Centers зафиксированы (то есть ориентировка всего кубика не считается как новая позиция). Если же считать одинаковыми любые положения, полученные вращением всего кубика, то число делится на 24 и равно 1 802 166 803 103 744 000. Пояснение по шагам (как получаются эти числа) 1) Корнер-к cubик (угловые кусочки) - Количество перестановок углов: 8! (40320). - Каждый угловой кубик имеет 3 возможных ориентации. Но суммарная ориентация углов должна быть кратна 3, поэтому реально независимыми являются ориентации 3^7 (последний угол определяется предыдущими шестерками). - Итого вклады от углов: 8! × 3^7. 2) Рёбра (edge) кубика - Количество перестановок рёбер: 12! (479 001 600). - Каждое ребро может быть ориентировано двумя способами. Суммарная ориентация всех ребер должна быть четной, так что независимыми остаются 2^11, но учтём паритет перестановок углов и рёбер: реальное число делится пополам. - Итого вклады от ориентировки и перестановки рёбер с учётом паритета: 12! × 2^10. 3) Паритет перестановок (углы и рёбра) - Перестановки углов и рёбер не независимы: их чётность обязана быть одинаковой (parity совпадает). Это даёт ещё одно деление на 2. - В совокупности это приводит к умножению на 2^11 и делению на 2 в отношении ориентаций/перестановок, что консолидируется в итоговом факторе 2^10 в формуле. 4) Объединение - Общее число позиций равно: 8! × 3^7 × 12! × 2^10. - Вычисление даёт: 40320 × 2187 × 479001600 × 1024 = 43 252 003 274 489 856 000. Замечания - Это число считается для кубика с фиксированными центрами: то есть глобальная ориентация кубика (вращение целого кубика в пространстве) не считается новой позицией. - Если рассматривать две позиции как эквивалентные при любом вращении куба, то делим на 24 (так как существует 24 симметрии вращения куба). Тогда получаем 1 802 166 803 103 744 000 позиций. Готов объяснить подробнее каждую часть или привести примеры, как это применяется в задачах на combinatorics или в задаче по практике решения кубика.