В прямоугольной системе координат отмечены точки А(-4; 4), Б(-4; 0), С(3; 0), точка О(0; 0) — начало координат. Классифицируйте треугольники АВО, АОС и ABC относительно сторон и относительно углов.
Вот подробное решение с пошаговыми обоснованиями.
Даны точки:
A(-4; 4), B(-4; 0), C(3; 0), O(0; 0)
1) Расстояния между точками (длины сторон треугольников)
- AB: расстояние между A(-4,4) и B(-4,0)
AB = sqrt((−4 − (−4))^2 + (4 − 0)^2) = sqrt(0^2 + 4^2) = 4
- BO: расстояние между B(-4,0) и O(0,0)
BO = sqrt((−4 − 0)^2 + (0 − 0)^2) = sqrt(16) = 4
- AO: расстояние между A(-4,4) и O(0,0)
AO = sqrt((−4 − 0)^2 + (4 − 0)^2) = sqrt(16 + 16) = sqrt(32) = 4√2
- OC: расстояние между O(0,0) и C(3,0)
OC = sqrt((0 − 3)^2 + (0 − 0)^2) = sqrt(9) = 3
- AC: расстояние между A(-4,4) и C(3,0)
AC = sqrt((−4 − 3)^2 + (4 − 0)^2) = sqrt(49 + 16) = sqrt(65)
- BC: расстояние между B(-4,0) и C(3,0)
BC = sqrt((−4 − 3)^2 + (0 − 0)^2) = sqrt(49) = 7
2) Треугольник ABO
- Стороны: AB = 4, BO = 4, AO = 4√2.
Две равные стороны AB и BO => треугольник ABO равнобедренный (основание AO).
- Прямой угол? AB ⟂ BO, так как AB вертикальная (x = −4), BO горизонтальная (y = 0). В точке B угол между BA и BO равен 90°.
Значит ABO — прямоугольный треугольник с прямым углом в вершине B.
Итого: ABO — равнобедренный и прямоугольный (прямой угол в B).
3) Треугольник AOC
- Стороны: AO = 4√2, OC = 3, AC = √65.
Все три стороны различны => треугольник AOC разносторонний.
- Какой угол острый/прямой/тупой?
Наибольшая сторона — AC = √65. Используем критерий:
AC^2 ? AO^2 + OC^2
AC^2 = 65
AO^2 + OC^2 = (4√2)^2 + 3^2 = 32 + 9 = 41
Так как 65 > 41, угол напротив стороны AC (то есть угол ∠AOC) тупой (> 90°).
Итак: AOC — разносторонний и тупоугольный треугольник (обладающий тупым углом в вершине O).
4) Треугольник ABC
- Стороны: AB = 4, BC = 7, AC = √65.
Все три стороны различны => треугольник ABC разносторонний.
- Прямой угол? Проверяем по теореме Пифагора для стороны AC (наибольшей):
AB^2 + BC^2 = 4^2 + 7^2 = 16 + 49 = 65
AC^2 = (√65)^2 = 65
Совпадение говорит о прямом угле в вершине B (∠ABC), т.к. стороны AB и BC образуют перпендикулярные направления.
Итак: ABC — разносторонний и прямоугольный треугольник (прямой угол в B).
Краткое резюме:
- ΔABO: равнобедренный по сторонам AB = BO = 4; прямоугольный угол при B.
- ΔAOC: разносторонний; тупоугольный треугольник, тупой угол в O.
- ΔABC: разносторонний; прямоугольный треугольник, прямой угол в B.
