Известно, что меньшая сторона прямоугольника ABCD равна 5 , а диагонали пересекаются под углом 60°. Найдите сумму диагоналей прямоугольника AC+BD .

Задача: прямоугольник ABCD с меньшей стороной равной 5 и углом между диагоналями равным 60°. Найти сумму диагоналей AC + BD.

Пошаговое решение:

• Обозначим меньшую сторону как a = 5, большую сторону как b (b ≥ a).

• В прямоугольнике диагонали AC и BD одинаковой длины: d = AC = BD = sqrt(a^2 + b^2).

• Направления диагоналей можно взять как векторы: v1 = (b, a) для диагонали AC и v2 = (-b, a) для диагонали BD.

• Угол между диагоналями (когда берём острый угол) даёт cos φ = (v1 · v2) / (|v1||v2|). Здесь v1 · v2 = (b)(-b) + a(a) = a^2 − b^2, а |v1| = |v2| = sqrt(a^2 + b^2). Следовательно, для острого угла φ: cos φ = (b^2 − a^2) / (a^2 + b^2).

• По условию φ = 60°, поэтому cos 60° = 1/2. Получаем уравнение: (b^2 − a^2) / (a^2 + b^2) = 1/2.

• Подставим a = 5: (b^2 − 25) / (b^2 + 25) = 1/2. 2(b^2 − 25) = b^2 + 25 2b^2 − 50 = b^2 + 25 b^2 = 75 b = 5√3.

• Найдём длину диагонали: d = sqrt(a^2 + b^2) = sqrt(25 + 75) = sqrt(100) = 10.

• Так как диагонали равны, AC = BD = 10. Следовательно, сумма диагоналей: AC + BD = 10 + 10 = 20.

Ответ: 20.