В прямоугольнике ABCD биссектриса AL угла A делит сторону BC на два отрезка: BL = 4,5 см и LC = 7,5 см. Найдите периметр прямоугольника ABCD. Ответ дайте в сантиметрах. Найдите…

Задача по геометрии для средней школы. Решение подробно.

Даны: прямоугольник ABCD. AL — биссектриса угла A, она пересекает сторону BC в точке L. BL = 4,5 см, LC = 7,5 см.

1. Найдём сторону BC и AB.

• BC = BL + LC = 4,5 + 7,5 = 12 см.
• Пусть AB = h, BC = w. В прямоугольнике угол при A равен 90°. Биссекция этого угла образует луч AL под углом 45° к сторонам AD и AB.
• Координатно: возьмём A = (0,0), B = (0,h), D = (w,0), C = (w,h). Точка L находится на BC и имеет координаты (BL, h) = (4,5, h).
• Чтобы AL была биссектором 90° угла, она должна лежать на прямой y = x (линии равных составляющих). Следовательно, h должно быть равно BL. Следовательно, AB = h = 4,5 см.

2. Периметр прямоугольника ABCD.

• AB = 4,5 см, BC = 12 см.
• Периметр P = 2(AB + BC) = 2(4,5 + 12) = 2 × 16,5 = 33 см.

3. Градусная мера угла BLA.

• Рассмотрим треугольник ABL. AB перпендикулярно BL (AB вертикальная, BL по BC, горизонтальная), поэтому угол B в треугольнике ABL равен 90°.
• И ADE AB = BL = 4,5 см, значит треугольник ABL — прямоугольный равнобедренный.
• В таком треугольнике углы при A и L равны и равны 45°.
• Следовательно, угол BLA = 45°.

Ответ:

• Периметр прямоугольника ABCD = 33 см.
• Градусная мера угла BLA = 45°.