высота правильной треугольной пирамиды 2корня из 3, а боковые рёбра образует с плоскостью основания угол 45 градусов найти объём

Разберём задачу пошагово.

Дано:

• высота пирамиды h = 2√3
• угол между боковым ребром (ребром AB, где A — вершина над основанием, B — вершина основания) и плоскостью основания равен 45°
• основание правильной треугольной пирамиды — это равносторонний треугольник со стороны s (не задано)

1. Связь угла между боковым ребром и плоскостью основания Пусть O — центр основания, B — вершина основания, A — вершина надплоскостью. Линя AB является боковым ребром. Проекция AB на плоскость основания имеет длину OB, где OB — расстояние от центра основания до вершины основания в равностороннем треугольнике. Для равностороннего треугольника стороны s это расстояние OB равно s/√3.

Угол между ребром AB и плоскостью основания удовлетворяет: tan(угол) = высота над основанием / горизонтальная проекция = h / OB.

Так как данный угол равен 45°, получаем: tan 45° = 1 = h / OB → OB = h = 2√3.

2. Найдём сторону основания OB = s/√3, следовательно s/√3 = 2√3 → s = 2√3 · √3 = 6.

3. Площадь основания Основание — равносторонний треугольник со стороной s = 6. S_base = (√3/4) s^2 = (√3/4) · 36 = 9√3.

4. Объём пирамиды V = (1/3) · S_base · h = (1/3) · (9√3) · (2√3) = (1/3) · 9 · 2 · (√3 · √3) = (1/3) · 18 · 3 = 18.

Ответ: объём пирамиды равен 18 кубических единиц. (Дополнительно можно отметить, что боковое ребро имеет длину l = sqrt(h^2 + OB^2) = sqrt((2√3)^2 + (2√3)^2) = 2√6.)