реши уравнение 9÷(2x+1)+6÷(1-2x)=2x²-15÷(4x²-1)
Задача: решить уравнение 9/(2x+1) + 6/(1-2x) = 2x^2 - 15/(4x^2 - 1).
- Доменная область
- 2x+1 ≠ 0 → x ≠ -1/2
- 1-2x ≠ 0 → x ≠ 1/2
- 4x^2 - 1 ≠ 0 → x ≠ ±1/2 Иными словами, x не может быть ±1/2. Остальные значения допустимы.
- Упрощение и снятие знаменателей Заметим, что 1 - 2x = -(2x - 1), а 4x^2 - 1 = (2x+1)(2x-1). Обозначим D = (2x+1)(2x-1) = 4x^2 - 1. Тогда:
9/(2x+1) + 6/(1-2x) = 9/(2x+1) - 6/(2x-1) RHS: 2x^2 - 15/D
Умножим обе стороны на D (находимся в допустимой области x ≠ ±1/2):
[9/(2x+1)]·D + [-6/(2x-1)]·D = [2x^2]·D - 15
Это даёт: 9(2x - 1) - 6(2x + 1) = 2x^2 D - 15
Вычислим левую часть: 9(2x - 1) = 18x - 9 -6(2x + 1) = -12x - 6 Их сумма: (18x - 9) + (-12x - 6) = 6x - 15
Итак: 6x - 15 = 2x^2 D - 15
Прибавим 15 к обеим сторонам: 6x = 2x^2 D
Перепишем как: 2x^2 D - 6x = 0 2x(x D - 3) = 0
- Разбор по случаям
Случай A: x = 0 Подставим в исходное уравнение: Левый: 9/(1) + 6/(1) = 15 Правый: 0 - 15/( -1 ) = 15 Уравнение верно. Значение x = 0 является решением (и удовлетворяет всем ограничениям).
Случай B: x D = 3, то есть x(4x^2 - 1) = 3 Раскроем: 4x^3 - x = 3 → 4x^3 - x - 3 = 0 Разложим на множители: (x - 1)(4x^2 + 4x + 3) = 0 Корни квадратного уравнения 4x^2 + 4x + 3 = 0 вещественных корней не имеет (Δ = 16 - 48 = -32).
Таким образом, из этого случая имеем единственный реальный корень x = 1. Он не нарушаетDomain (x ≠ ±1/2).
- Итог В реальных числах решения уравнения: x = 0 и x = 1.
Проверка:
- x = 0: LHS = 9/1 + 6/1 = 15; RHS = 0 - 15/( -1 ) = 15. Ок.
- x = 1: LHS = 9/3 + 6/( -1 ) = 3 - 6 = -3; RHS = 2·1^2 - 15/(4·1^2 - 1) = 2 - 15/3 = 2 - 5 = -3. Ок.
Ответ: x = 0 или x = 1.
