Найдите точки локального максимума и локального минимума функции: f(x)=(x-4)⁸
Задача: найти точки локального максимума и локального минимума для f(x) = (x − 4)^8.
Пошаговое решение:
Шаг 1. Найдём производную. f'(x) = 8(x − 4)^7.
Шаг 2. Найдём критические точки (где производная равна нулю или не существует). f'(x) = 0 → (x − 4)^7 = 0 → x = 4.
Шаг 3. Анализ знака производной слева и справа от точки x = 4. • При x < 4: (x − 4)^7 < 0 → f'(x) < 0 → функция убывает. • При x > 4: (x − 4)^7 > 0 → f'(x) > 0 → функция возрастает. Следовательно, в точке x = 4 функция достигает локального минимума (она убывала, затем возрастала).
Шаг 4. Значение минимума. f(4) = (4 − 4)^8 = 0. Так как f(x) ≥ 0 для любого x, это также глобальный минимум.
Шаг 5. Локальный максимум. У функции нет локального максимума: она убывает слева от 4 и возрастает справа, а стремления к бесконечности не дают локального максимума.
Дополнительное замечание:
- Второй производной: f''(x) = 56(x − 4)^6 ≥ 0, но в точке x = 4 f''(4) = 0, поэтому тест на вторую производную не даёт однозначного вывода. Анализ знаков первой производной дал ясный ответ.
Ответ:
- Локальный и глобальный минимум: x = 4, f(4) = 0.
- Локального максимума нет.
