С какой скоростью начало тело двигаться вверх по наклонной плоскости, если на расстоянии 0,5 м от её основания тело было через 0,5 с и через 2,5 с от начала движения?
Решение задачи на движение по наклонной плоскости с постоянным ускорением.
Допущения:
- движение без сопротивления (сила тяжести вдоль плоскости дает постоянное ускорение a).
- положительным направлением взято вверх по наклонной.
- начальная позиция x(0) = 0.
Обозначения:
- v0 — скорость тела в момент начала движения (то, что требуется найти).
- a — ускорение тела вдоль плоскости (отрицательное, поскольку движение вверх противодействие component силы тяжести).
Кинематическое уравнение для прямолинейного равномерно ускоренного движения:
x(t) = v0 t + (1/2) a t^2.
Даны условия:
- при t1 = 0,5 s тело находится на расстоянии x1 = 0,5 м от основания;
- при t2 = 2,5 s тело также находится на расстоянии x2 = 0,5 м.
Следовательно:
1) 0,5 = v0 · 0,5 + (1/2) a (0,5)^2 = 0,5 v0 + 0,125 a
2) 0,5 = v0 · 2,5 + (1/2) a (2,5)^2 = 2,5 v0 + 0,5 · a · 6,25 = 2,5 v0 + 3,125 a
Решение:
- Вычтем уравнение (1) из (2):
0 = (2,5 − 0,5) v0 + (3,125 − 0,125) a
0 = 2 v0 + 3 a
v0 = −(3/2) a.
- Подставим это в (1):
0,5 = 0,5·v0 + 0,125 a = 0,5(−1,5 a) + 0,125 a = −0,75 a + 0,125 a = −0,625 a
a = −0,5 / 0,625 = −0,8 м/с².
- Находим начальную скорость:
v0 = −1,5 a = −1,5 · (−0,8) = 1,2 м/с.
Ответ:
- начальная скорость тела при начале движения вверх по наклонной плоскости равна 1,2 м/с (направлена вверх по плоскости).
Дополнительно (по желанию): ускорение вдоль плоскости имеет модуль 0,8 м/с² и направлено вниз по плоскости. Если считать, что ускорение от тяжести равно a = g sin α, то sin α = 0,8 / 9,8 ≈ 0,082, следовательно α ≈ 4,7°.
