Пример Е

Ниже решения для примера Е, разложенные по пунктам. Я стараюсь давать подробные шаги и пояснения.

1. k) 2^{x^2 + x - 1/2} = 4√2

• Перепишем правую часть через двойную базу: 4√2 = 2^2 · 2^{1/2} = 2^{5/2}.
• Тогда равенство оснований даёт степенную эквивалентность: x^2 + x - 1/2 = 5/2.
• Приведём уравнение: x^2 + x - 3 = 0.
• Дискриминант D = 1 + 12 = 13.
• Корни: x = (-1 ± √13)/2.

Ответ: x = (-1 + √13)/2 или x = (-1 - √13)/2.

2. l) 4^{√(x+4)} = 64 · 2^{√(x+1)}

• 4 = 2^2, 64 = 2^6. Приведём обе стороны к основанию 2: 2^{2√(x+4)} = 2^{6 + √(x+1)}.
• Следовательно: 2√(x+4) = 6 + √(x+1).
• Обозначим a = √(x+4) и b = √(x+1). Тогда 2a = 6 + b и a^2 - b^2 = (x+4) - (x+1) = 3, т.е. (a - b)(a + b) = 3.
• Из 2a = 6 + b получаем b = 2a - 6.
• Подставим в (a - b)(a + b) = 3: (a - (2a - 6))(a + (2a - 6)) = 3 (-a + 6)(3a - 6) = 3 3(6 - a)(a - 2) = 3 (6 - a)(a - 2) = 1.
• Решаем относительно a: (6 - a)(a - 2) = 1 даёт уравнение a^2 - 8a + 13 = 0, т.е. a = 4 ± √3.
• Однако b = 2a - 6 должен быть неотрицательным (√(x+1) ≥ 0). Для a = 4 - √3 получаем b = 2 - 2√3 < 0, этот корень отвергаем.
• Для a = 4 + √3 имеем b = 2a - 6 = 2 + 2√3 > 0 и соответствует x.

Найдем x:

• a^2 = x + 4 => x = a^2 - 4 = (4 + √3)^2 - 4 = (19 + 8√3) - 4 = 15 + 8√3.

Ответ: x = 15 + 8√3.

3. m) 7 · 5^x + 90 = 5^{x+2}

• 5^{x+2} = 5^x · 5^2 = 25 · 5^x.
• Перепишем: 7 · 5^x + 90 = 25 · 5^x → 90 = 18 · 5^x → 5^x = 90/18 = 5.
• Тогда x = 1.

Ответ: x = 1.

4. n) e) 5 · 2^x - 3 · 2^{x-1} = 56

• Выражаем через общий множитель 2^{x-1}: 5 · 2^x = 5 · 2 · 2^{x-1} = 10 · 2^{x-1}. Значит: 10 · 2^{x-1} - 3 · 2^{x-1} = 56.
• Сложим коэффициенты: (10 - 3) · 2^{x-1} = 56 → 7 · 2^{x-1} = 56 → 2^{x-1} = 8.
• Следовательно x - 1 = 3, и x = 4.

Ответ: x = 4.

5. o) 7^{x+2} + 2 · 7^{x-1} = 345

• Обозначим y = 7^x > 0. Тогда: 7^{x+2} = 7^2 · 7^x = 49y, и 2 · 7^{x-1} = 2 · 7^{x}/7 = (2/7) y.
• Уравнение: 49y + (2/7) y = 345 ⇒ (49 + 2/7) y = 345. 49 = 343/7, значит сумма = (343/7 + 2/7) = 345/7.
• Получаем: (345/7) y = 345 ⇒ y = 7.
• Тогда 7^x = 7 → x = 1.

Ответ: x = 1.

6. p) 10^x + 10^{x-1} = 0.11

• 10^{x-1}(10 + 1) = 0.11 → 11 · 10^{x-1} = 0.11.
• 10^{x-1} = 0.11 / 11 = 0.01 = 10^{-2}.
• Следовательно x - 1 = -2 → x = -1.

Ответ: x = -1.

7. q) 10^{1+x^2} - 10^{1-x^2} = 99

• Перепишем: 10 · (10^{x^2} - 10^{-x^2}) = 99.
• Обозначим t = 10^{x^2} > 0. Тогда t - 1/t = 9.9.
• Уравнение: t^2 - 9.9 t - 1 = 0. Корни: t = (9.9 ± √(9.9^2 + 4)) / 2. 9.9^2 = 98.01, 98.01 + 4 = 102.01, √102.01 = 10.1. Значения: t = (9.9 ± 10.1)/2 → t1 = 10, t2 = -0.1 (нельзя, t > 0).
• Значит 10^{x^2} = 10 → x^2 = 1 → x = ±1.

Ответ: x = 1 или x = -1.

8. r) 3^x + 9^{x-1} = 810

• Обозначим y = 3^x > 0. Тогда 9^{x-1} = (3^2)^{x-1} = 3^{2x-2} = (3^x)^2 / 9 = y^2/9.
• Уравнение: y + y^2/9 = 810. Умножим на 9: 9y + y^2 = 7290 → y^2 + 9y - 7290 = 0.
• Дискриминант D = 9^2 + 4·7290 = 81 + 29160 = 29241. Корень D = 171.
• Корни: y = (-9 ± 171)/2 → y = 81 или y = -90. Поскольку y = 3^x > 0, выбираем y = 81.
• 3^x = 81 = 3^4 → x = 4.

Ответ: x = 4.

Если нужно, могу продолжить разбор и по другим пунктам на той же странице или привести компактную сводку по всем решениям.