ABCD – параллелограмм, AD = a, AB = b, K ∈ BC, L ∈ AD, BK : KC = 3 : 4, AL : LD = 4 : 3. Найдите разложение вектора KL по неколлинеарным векторам a и b.

Решение. Обозначим параллелограмм так: A — начало координат, AB = b, AD = a. Тогда

• B = b, D = a, C = A + AB + AD = a + b.
• BC вектор равен C − B = (a + b) − b = a, т.е. BC параллелен AD и равен вектору a.

По условию BK : KC = 3 : 4. Тогда BK = (3/7) BC = (3/7) a, и

• K = B + BK = b + (3/7) a.

По условию AL : LD = 4 : 3. Тогда AL = (4/7) AD = (4/7) a, и

• L = A + AL = (4/7) a.

Теперь разложим KL по векторам a и b:

KL = L − K = (4/7 a) − [b + (3/7) a] = (4/7 − 3/7) a − b = (1/7) a − b.

Ответ: KL = (1/7) a − 1 · b.