ABCD – параллелограмм, AD = a, AB = b, K ∈ BC, L ∈ AD, BK : KC = 3 : 4, AL : LD = 4 : 3. Найдите разложение вектора KL по неколлинеарным векторам a и b.

Решение (пошагово):

• Пусть A — начало координат. Тогда AB = b, AD = a. Значит B = b, D = a, C = A + AB + AD = a + b.

• K лежит на BC и BK:KC = 3:4. По делению от B к C: BK = (3/7) BC, где BC = C − B = a. Следовательно K = B + (3/7) a = b + (3/7) a.

• L лежит на AD и AL:LD = 4:3. По делению от A к D: AL = (4/7) AD = (4/7) a. Следовательно L = A + (4/7) a = (4/7) a.

• Вектор KL = L − K: KL = (4/7)a − [b + (3/7)a] = (4/7 − 3/7)a − b = (1/7)a − b.

Итак, разложение KL по неколлинеарным векторам a и b: KL = (1/7) a − 1 · b.