ABCD – параллелограмм, вектор AD = вектор a, вектор AB = вектор b, K ∈ BC, L ∈ AD, BK : KC = 3 : 4, AL : LD = 4 : 3. Найдите разложение вектора KL по неколлинеарным векторам a и b.

Решение подробно с шагами.

Дано: ABCD — параллелограмм, AD = a, AB = b. Пусть A — начала координат. Тогда:

• B = b
• D = a
• C = B + D = a + b

1. Найдем точку K на BC, при этом BK:KC = 3:4.

• Вектор BC = C − B = (a + b) − b = a.
• Отношение BK:KC равно 3:4 значит BK = (3/7) BC,KC = (4/7) BC.
• Следовательно K = B + (BK/BC) · BC = b + (3/7) a.

2. Найдем точку L на AD, при этом AL:LD = 4:3.

• Вектор AD = D − A = a.
• Отношение AL:LD равно 4:3 значит AL = (4/7) AD.
• Следовательно L = A + (AL/AD) · AD = (4/7) a.

3. Вектор KL = L − K: KL = (4/7 a) − [b + (3/7) a] = (4/7 a − 3/7 a) − b = (1/7) a − b.

Ответ: KL = (1/7) a − b. То есть разложение KL по неколлинеарным векторам a и b: KL = (1/7) a + (−1) b.