№1. Задает ли указанное правило функцию у = f(x): 1) f(x) ={-x + 2, если -3 ≤ x ≤ 0; √x + 2, если х ≥ 0}; 2) f(x) ={x - 2, если x ≤ 2; x + 1, если 2 ≤ x < 4}? В случае положительного ответа: a) найдите область определения функции; б) вычислите значения функции в точках -4, -2, 0, 4; в) постройте график функции; г) найдите промежутки монотонности функции. №2. Исследуйте функцию у = √ (x- 3) + x² на четность. №4. Решите уравнение x² + 6x + 7 = |x + 3| №5. Решите неравенство |x² - 10| > 9x №6. Известно, что функция у = f(x) возрастает на R. Решите неравенство f(|x - 8|) > f( |2x + 5|).

Ниже подробные решения по каждой задаче. Поскольку цель указана как "Понять", даю шаг за шагом с пояснениями. Параметры предмета и класса не заданы, беру общий школьный уровень. Задача №1 Задает ли указанное правило функцию u = f(x): 1) f(x) = { -x + 2, если -3 ≤ x ≤ 0; √x + 2, если x ≥ 0 }; 2) f(x) = { x - 2, если x ≤ 2; x + 1, если 2 ≤ x < 4 }? Если да, найдите далее: a) область определения; б) значения f(-4), f(-2), f(0), f(4); в) график; г) промежутки монотонности. 1) Расмотрим каждую часть отдельно. 1) f1(x) = { -x + 2, -3 ≤ x ≤ 0; √x + 2, x ≥ 0 }. - Является ли это функцией? Да, но есть пересечение по границе x = 0: обе части определены в точке x = 0. Значения совпадают: - при x = 0: -x + 2 = 2; √x + 2 = 2. Значение единственно. Следовательно, правило задаёт одну величину f(0) = 2, и в целом это функция. - Область определения: объединение доменов обеих частей: [-3, 0] ∪ [0, ∞) = [-3, ∞). - Значения в заданных точках: - f(-4): x = -4 ∉ [-3, ∞) → не определено. - f(-2): попадаем в первую часть: f(-2) = -(-2) + 2 = 4. - f(0): обе части дают 2 → f(0) = 2. - f(4): x ≥ 0 → f(4) = √4 + 2 = 2 + 2 = 4. - График: левая ветка линейная на [-3, 0], график убывает (наклон -1) от точки (-3,5) до (0,2). Затем правая ветка на [0, ∞) — график возрастает как √x + 2, стык в точке (0,2). - Промежутки монотонности: - на [-3, 0] функция строго убывает; - на [0, ∞) функция строго возрастает. В точке x = 0 существует минимум f(0) = 2. 2) f2(x) = { x - 2, если x ≤ 2; x + 1, если 2 ≤ x < 4 }. - Является ли это функцией? Да, потому что в точке пересечения x = 2 обе части дают одинаковое значение? проверить: - при x = 2: левая часть даёт f(2) = 2 - 2 = 0; правая часть даёт f(2) = 2 + 1 = 3. Здесь значения отличаются! Значит на границе 2 функция неформально «разрывается», но формально одно и то же x = 2 попадает в два правила с разными значениями. В таком виде это не задаёт однозначного значения f(2). Следовательно, это правило не является корректной записью функции без дополнительной оговорки. Обычно такое решение считается не функция. - Область определения: если трактовать строго и убрать конфликт по границе (или выбрать одно из значений на x = 2), можно записать домен как (-∞, 4). Но в самой записи есть конфликт на x = 2, значит по заданной формулировке это не функция. - Вывод по задаче: для числа 1 задача — да, это функция; для числа 2 — нет, это не функция (из-за противоречивого значения в точке x = 2). Поскольку в условии задача №1 просит ответить «Задает ли указанное правило функцию», можно ответить так: 1) да, функция; 2) нет, не функция (из-за противоречия в границе). Итого по №1: - 1) да, функция; a) область определения [-3, ∞); б) f(-4) не определено, f(-2)=4, f(0)=2, f(4)=4; в) график состоит из линейной части на [-3,0] и ветви √x+2 на [0,∞) с общей точкой в (0,2); г) монотонность: убывание на [-3,0], возрастание на [0,∞). - 2) нет, не функция (из-за противоречия на x = 2). Задача №2 Исследуйте функцию у = √(x - 3) + x^2 на четность. - Домашний признак: область определения функции — под корнем x - 3 ≥ 0 → x ≥ 3. Поэтому домен функции D = [3, ∞). - Четность: функция является четной, если график симметричен относительно оси y и для каждого x из домена x и -x принадлежат домену и f(-x) = f(x). Здесь домен не симметричен относительно 0: если x ≥ 3, то -x ≤ -3, и для таких x выражение f(-x) не определено (в домене функции такие аргументы не лежат). Поэтому по стандартному определению четности говорить о четности здесь нельзя. Функция не является ни четной, ни нечетной (она не может быть проверена на равенство f(-x)=f(x) из-за того, что -x не входит в домен). Так что ответ: функция нечетной/нечетной не является (из-за несимметричного домена). Итого по №2: домен [3, ∞); функция не является ни четной, ни нечетной в обычном смысле (из-за асимметричного домена относительно 0). Задача №4 Решите уравнение x^2 + 6x + 7 = |x + 3|. - Введём замену t = x + 3. Тогда x = t - 3. x^2 + 6x + 7 = (t - 3)^2 + 6(t - 3) + 7 = t^2 - 2. Правильное уравнение: t^2 - 2 = |t|. - Решаем по случаям. - Случай 1: t ≥ 0, тогда |t| = t. Уравнение: t^2 - 2 = t → t^2 - t - 2 = 0 → (t - 2)(t + 1) = 0 → t = 2 или t = -1; только t ≥ 0 даёт t = 2. Следовательно, x + 3 = 2 → x = -1. - Случай 2: t ≤ 0, тогда |t| = -t. Уравнение: t^2 - 2 = -t → t^2 + t - 2 = 0 → (t + 2)(t - 1) = 0 → t = -2 или t = 1; только t ≤ 0 даёт t = -2. Следовательно, x + 3 = -2 → x = -5. - Проверка: - x = -1: лево 1 - 6 + 7 = 2; право |2| = 2. Ок. - x = -5: лево 25 - 30 + 7 = 2; право |-2| = 2. Ок. Ответ: x = -1 и x = -5. Задача №5 Решите неравенство |x^2 - 10| > 9x. - Разделим по знаку правой части. - x < 0: тогда 9x < 0. Левую часть неотрицательно: |x^2 - 10| ≥ 0. Любое неотрицательное число больше любого отрицательного числа. Поэтому для всех x < 0 неравенство верно. Значит (-∞, 0) включаем целиком. - x ≥ 0: тогда можно рассмотреть два случая в зависимости от знака выражения под модулем: a) x^2 - 10 ≥ 0 (то есть x ≥ √10): тогда |x^2 - 10| = x^2 - 10. Неравенство: x^2 - 10 > 9x → x^2 - 9x - 10 > 0 → (x + 1)(x - 10) > 0. Это даёт x < -1 или x > 10. В диапазоне x ≥ √10 получаем только x > 10. b) x^2 - 10 < 0 (то есть 0 ≤ x < √10): тогда |x^2 - 10| = 10 - x^2. Неравенство: 10 - x^2 > 9x → -x^2 - 9x + 10 > 0 → x^2 + 9x - 10 < 0. Корни: x = -10 и x = 1, поэтому неравенство выполняется на интервале (-10, 1). Перекрывая с условием 0 ≤ x < √10 получаем 0 ≤ x < 1 (так как 1 < √10). - Соединяем результаты: - из x < 0: все x < 0. - из x ≥ 0: 0 ≤ x < 1 и x > 10. - Итоговый множества решений: x ∈ (-∞, 1) ∪ (10, ∞). Задача №6 Известно, что функция u = f(x) возрастает на R. Решите неравенство f(|x - 8|) > f(|2x + 5|). - При строгом возрастании функции f: f(a) > f(b) эквивалентно a > b (для любых a, b в области определения). Поэтому условие сводим к |x - 8| > |2x + 5|. - Решаем неравенство |x - 8| > |2x + 5|. Решение через квадраты (поскольку слева и справа неотрицательны): (x - 8)^2 > (2x + 5)^2 Применяем разность квадратов: [(x - 8) - (2x + 5)] · [(x - 8) + (2x + 5)] > 0 = (-x - 13) · (3x - 3) > 0 = -(x + 13) · 3(x - 1) > 0 Учитывая множитель 3 положительный, неравенство эквивалентно (x + 13)(x - 1) < 0. - Решение: промежуток между корнями -13 и 1, то есть x ∈ (-13, 1). - Примечание: здесь мы предположили, что f строго возрастает (что обычно и имеется в виду под "возрастает на R"). Если же речь идёт о нестрогом возрастании, вывод будет аналогично зависеть от строгого неравенства: в общем случае для f нестрого возрастания решение может быть другим на участках, где f постоянна. Но в стандартном школьном варианте считаем строгое возрастание. Итог по №6: x ∈ (-13, 1). Итоговый ответ по всем задачам (кратко): - №1: да, функция; а) область определения [-3, ∞); б) f(-4) не определено; f(-2)=4; f(0)=2; f(4)=4; в) график — левая линейная ветвь на [-3,0] и правая ветвь √x+2 на [0,∞); г) монотонность: убывательная на [-3,0], возростающая на [0,∞). - №2: домен [3, ∞); функция не является четной (и не может быть проверена как четная из-за несимметричного домена). - №4: x = -5 и x = -1. - №5: (-∞, 1) ∪ (10, ∞). - №6: (при предположении строгого возрастания f) x ∈ (-13, 1).