Разбираем задачу пошагово. 1) Дано: прямая, параллельная AB, пересекает AC в A1 и BC в B1. Соответственно треугольники CA1B1 и CAB подобны (углы при C совпадают, а A1B1…
Разбираем задачу пошагово. 1) Дано: прямая, параллельная AB, пересекает AC в A1 и BC в B1. Соответственно треугольники CA1B1 и CAB подобны (углы при C совпадают, а A1B1 параллельна AB). 2) По подобию линейный коэффициент равен отношению соответствующих сторон: k = CA1/CA = A1C/AC. 3) По условию AA1:A1C = 4:1. Значит A1C = 1 часть, AC = 5 частей, следовательно A1C/AC = 1/5. То есть k = 1/5. 4) Соотношение сторон: A1B1 = AB · k = 30 см · (1/5) = 6 см. Ответ: A1B1 = 6 см.
Ниже разбор задачи по шагам с подробными пояснениями.
Дано: треугольник ABC, прямая l параллельна AB и пересекает AC в A1 и BC в B1. По условию AA1:A1C = 4:1 и AB = 30 см. Нужно найти A1B1.
- Понимание структуры и связь через подобие
- Прямая A1B1 параллельна AB, значит треугольники CA1B1 и CAB подобны (углы при C совпадают, а угол между CA и A1B1 равен углу между CA и AB из-за параллельности A1B1 ∥ AB).
- Следовательно, соответствующие стороны треугольников пропорциональны. Обозначим общий коэффициент подобия k = CA1/CA = A1C/AC. (CA1 и A1C — это одно и то же расстояние от C до точки A1, просто записано с разными ориентациями.)
- Связь коэффициента k с данными по разрезу
- По подобию A1B1/AB = k.
- По условию AA1:A1C = 4:1 следует, что AC = AA1 + A1C, и A1C = CA1 = (1 часть) из 5 частей целого AC. Значит A1C/AC = 1/5.
- Так как A1C/AC = k, получаем k = 1/5.
- Применение пропорции к искомой стороны
- Из подобия: A1B1 = AB · k.
- Подставим AB = 30 см и k = 1/5: A1B1 = 30 · (1/5) = 6 см.
- Ответ
- A1B1 = 6 см.
Краткое резюме: из-за параллельности A1B1 и AB треугольники CA1B1 и CAB подобны, коэффициент подобия равен CA1/CA = A1C/AC = 1/5 по данному разрезу, а искомая сторона A1B1 равна AB·k = 30·1/5 = 6 см. Если длина AB была неизвестна, вывод можно записать как A1B1 = AB · (A1C/AC).
