Периметр равностороннего треугольника, вписанного в окружность, равен 18 √3 см. Найдите радиус этой окружности
Задача: Периметр равностороннего треугольника, вписанного в окружность, равен 18√3 см. Найдите радиус окружности.
Пошаговое решение:
Обозначим сторону треугольника как a. Периметр равностороннего треугольника P = 3a. По условию P = 18√3 см, значит a = P/3 = (18√3)/3 = 6√3 см.
Связь между стороной равностороннего треугольника и радиусом вписанной в него окружности. Пусть O — центр окружности, A и B — две соседние вершины, AB = a, OA = OB = R (радиус окружности). Центр окружности совпадает с центром описанной окружности треугольника. Угол ∠AOB по центральной геометрии равен 120°, так как вершины треугольника равномерно распределены по окружности (каждые две соседние вершины образуют центральный угол 120°).
Применим теорему косинусов к треугольнику AOB: AB^2 = OA^2 + OB^2 − 2·OA·OB·cos∠AOB a^2 = R^2 + R^2 − 2R^2 cos 120° cos 120° = −1/2, поэтому: a^2 = 2R^2 − 2R^2(−1/2) = 2R^2 + R^2 = 3R^2.
Отсюда a^2 = 3R^2, следовательно R = a/√3.
Подстановочная часть: Из шага 1 имеем a = 6√3 см. Подставим в формулу: R = (6√3) / √3 = 6 см.
Ответ: радиус окружности равен 6 см.
