Найти объём правильной шестиугольной пирамиды, если её боковое ребро равно корень из 15, а диаметр круга, вписанного в основание, равен 6

Задача: найти объём правильной шестиугольной пирамиды. Даны боковое ребро l = √15 и диаметр вписанного в основание круга d = 6 (то есть радиус апотемы основания a = 3).

Шаг 1. Найдём сторону правильного шестиугольника основания

• В правильном hexagon апотема (радиус вписанного круга) a связан со стороной s так: a = s·√3/2.
• У нас a = 3, значит 3 = s·√3/2 → s = 6/√3 = 2√3.

Шаг 2. Найдём радиус описанной окружности основания (расстояние от центра до вершины)

• Для правильного шестиугольника расстояние от центра до вершины равно стороне: R = s = 2√3.

Шаг 3. Найдём высоту пирамиды

• Пусть O — центр основания, A — вершина пирамиды (апекс).
• Боковое ребро AV имеет длину l = √15. В треугольнике AOV прямой угол у O (AO — высота пирамиды, OV = R).
• По теореме Пифагора: l^2 = AO^2 + OV^2 = h^2 + R^2.
• Подставим: 15 = h^2 + (2√3)^2 = h^2 + 12 → h^2 = 3 → h = √3.

Шаг 4. Найдём площадь основания

• Площадь правильного шестиугольника можно посчитать двумя способами.
  • Через сторону: A_base = (3√3/2)·s^2. С учётом s^2 = (2√3)^2 = 12, получаем A_base = (3√3/2)·12 = 18√3.
  • Через периметр P и апотему a: A_base = (P·a)/2, где P = 6s = 12√3, даёт A_base = (12√3·3)/2 = 18√3. Совпадает.

Шаг 5. Найдём объём пирамиды

• Объём пирамиды V = (1/3)·A_base·h = (1/3)·(18√3)·(√3) = (1/3)·18·3 = 18.

Ответ: объём правильной шестиугольной пирамиды равен 18 кубических единиц.