Геометрия · 7 класс Задача №3486717
А
А
AB и CD диаметры одной окружности с центром O. Докажите что. Треугольник ADC=Треугольник DAB
Дано: на окружности с центром O отрезки AB и CD являются диаметрами (A и B — противоположные точки diametr; C и D — противоположные точки diametr). Нужно доказать, что треугольники ADC и DAB равны (congruent).
Пошаговое решение:
- Выпишем известные длины сторон
- Так как AB и CD — диаметры, их длины равны 2R, где R — радиус окружности. Следовательно, AB = CD = 2R.
- Общая сторона AD присутствует в обоих треугольниках ADC и DAB, поэтому AD в обоих треугольниках одна и та же величина.
- Найдём равный угол между двумя сторонами AD и соответствующими диаметрами
- В треугольнике ADC угол ∠ADC — это вписанный угол, который опирается на дугу AC.
- В треугольнике DAB угол ∠DAB — это вписанный угол, который опирается на дугу DB.
- Чтобы треугольники ADC и DAB были равны по SAS, нам нужно, чтобы эти углы ∠ADC и ∠DAB были равны.
- Обоснование равенства ∠ADC и ∠DAB
- Центральные углы AOC и BOD соответствуют дугам AC и BD соответственно.
- Так как OB = -OA и OD = -OC (B — противоположность A, D — противоположность C), угол между OA и OC равен углу между OB и OD. То есть ∠AOC = ∠BOD.
- Следовательно дуги AC и BD имеют одинаковую меру, и вписанные углы, их intercepted, тоже равны: ∠ADC (опирается на дугу AC) = ∠DAB (опирается на дугу BD).
- Применим признак равенства треугольников по SAS
- AD общая сторона.
- AB = CD = 2R (соответствуют сторонам, лежащим напротив AD: в треугольнике ADC — сторона DC, в треугольнике DAB — сторона AB; обе равны 2R).
- ∠ADC = ∠DAB (из п.3).
По признаку SAS треугольники ADC и DAB равны.
- Что следует после
- Из равенства по SAS следует равенство остальных соответствующих сторон и углов: например, AC = DB, ∠ACD = ∠DBA и т. д.
Итак, треугольники ADC и DAB равны.
